查看“階冪”的源代码

{{no footnotes|time=2018-12-29T05:15:29+00:00}}
{{NoteTA|G1=Math}}

在[[數學]]中，正整数的'''階冪'''（{{lang-en|'''expofactorial''' 或 '''exponential factorial'''}}）是所有小於及等於該數的[[正整數]]的[[冪]]，記作 {{math|''n''$}} ，例如：

:<math>4\$ = 4 ^{3 ^{2 ^{1}}} = 262144 </math>。

階冪是[[階加]]和[[階乘]]在[[冪運算]]上的類比。

前几项的階冪数为

1 , 2 , 9 , 262144 , ... {{OEIS|id=A049384}}

階冪的增長率比[[階乘]]，甚至[[階乘|過級階乘]]還要快。到了5的階冪，已經是 <math>5\$=5^{262144}\approx 6.206069878660874 \times 10^{183230}</math>。

==定義==

一般地說，對於正整數 ''n''，
:<math>n\$ = n_{}^{(n-1)^{{(n-2)}^{.\,^{.\,^{.\,^{{3}^{{2}^{1}}}}}}}} </math>

從上述公式中，可以推導出[[遞歸關係]]：

:<math>\left\{\begin{align}
1\$&=1\\ 
n\$&=n ^{(n-1)\$}
\end{align}\right.</math>。

遞迴關係在階冪函數中任意正整數 ''n'' 皆成立，例如：
: <math>\begin{align}
 5\$ &=  5 ^{ 4\$} \\
 6\$ &=  6 ^{ 5\$} \\
 50\$ &=  50 ^{ 49\$}
\end{align}</math>

== 非正整數的擴展 ==

階冪原始的定義只在正整數上。不同於[[階乘]]，階冪的[[定義域]]從正整數推廣到[[實數]]和[[複數]]的過程中，遇到了困難。

與[[疊代冪次]]相似，由於冪塔高度為 0 的數值並沒有一個廣為接受的良好定義， <math>0\$</math> 並未定義。階冪亦不像階乘般，存在如[[伽瑪函數]]一樣的函數，作為其對實數以至複數的擴展。

==變化==

=== 雙階冪 ===

類比於[[雙階乘]]，我們能夠為正整數 ''n'' 定義'''雙階冪'''（double expofactorial）。

當 <math>n</math> 是[[單數]]，<math>n\$\$=n_{}^{(n-2)^{{(n-4)}^{.\,^{.\,^{.\,^{{5}^{{3}^{1}}}}}}}}</math> 。

當 <math>n</math> 是[[雙數]]，<math>n\$\$=n_{}^{(n-2)^{{(n-4)}^{.\,^{.\,^{.\,^{{6}^{{4}^{2}}}}}}}}</math> 。

=== 多重階冪 ===
雙階冪能進一步推廣為'''多重階冪'''（multiple expofactorial）。 <math>n\$_{(m)}</math>被称为 ''n'' 的 ''m'' 重階冪，定义为
:<math>  n\$_{(m)}=
  \left\{
   \begin{align}
    &1\qquad\qquad\ &&\mbox{if }0\le n<m
   \\
    &n^{(n-m)\$_{(m)}}&&\mbox{if }n\ge m \quad\ \ \,
   \end{align}
  \right.
 </math>。

例如， <math>7\$_{(3)}=7^{4^1} =2401</math>。

=== 超級階冪 ===
類比於由[[尼爾·斯洛恩]]和[[西蒙·普勞夫]]定義的[[階乘#超級階乘|超級階乘]]，我們能定義'''超級階冪'''（superexpofactorial）為首 ''n'' 個階冪的疊冪，記作<math> \operatorname{se}(n)</math>。

:<math>\operatorname{se}(n) = n\$_{}^{(n-1)\$^{{(n-2)\$}^{.\,^{.\,^{.\,^{{3\$}^{{2\$}^{1\$}}}}}}}} </math>

例如， <math>\operatorname{se}(3)={(3^{2^1})}^{({2^1})^1}=81</math>

前幾個超級階冪為

:1 , 2 , 81, ...
:第四个超級階冪值約為<math>7.975\times 10^{438}</math>。

=== 過級階冪 ===
'''過級階冪'''（hyperexpofactorial）寫作 <math>\operatorname{he}(n)</math> ，其定義為

:<math>  \operatorname{he}(n) = {^nn}_{}^{{{^{n-1}(n-1)}}^{{^{n-2}(n-2)}^{.\,^{.\,^{.\,^{{^{3}3}^{{^{2}2}^{^{1}1}}}}}}}}  </math>，

其中 <math>{^ba}</math> 表示[[疊代冪次]]。

例如， <math>\operatorname{he}(3)={(3^{3^3})}^{({2^2})^1}</math>

前幾項的過級階冪為

:1 , 4 , 3381391913522726342930221472392241170198527451848561, ...
:第四个過級階冪值約為<math> 10^{10^{205.43}}</math>。

=== 倒數階冪 ===

'''倒數階冪'''（reciprocal expofactorial）是指所有小於及等於該數的正整數之[[倒數]]的疊冪：
:<math> \frac{1}{n}_{}^{(\frac{1}{n-1})^{({\frac{1}{n-2})}^{.\,^{.\,^{.\,^{{(\frac{1}{3})}^{{(\frac{1}{2})}^{1}}}}}}}} </math>。

==階冪的和及積==

首 ''n'' 個階冪的和為

:<math>\sum_{k=1}^n k\$=1\$+2\$+3\$+\cdots+n\$</math>。

首 ''n'' 個階冪的積為

:<math>\prod_{k=1}^n k\$=1\$\times2\$\times3\$\times\cdots\times n\$</math>。

以上兩個數值的增長率，要比階冪本身還要快。


首 ''n'' 個階冪倒數的和為

:<math>\sum_{k=1}^n \frac{1}{k\$}=1+\frac{1}{2\$}+\frac{1}{3\$}+\cdots+\frac{1}{n\$}</math>。

當 ''n'' 趨向無窮大，其值收斂於 <math>1.6111149258083767361111...</math>。{{OEIS|id=A080219}}

==參見==
*[[階加]]
*[[階乘]]

==參考文獻==
*Clifford A. Pickover (1995), ''Keys to Infinity'', Wiley.
*Jonathan Sondow, "[http://mathworld.wolfram.com/ExponentialFactorial.html Exponential Factorial]" From [[Mathworld]], a Wolfram Web resource
*Sloane, N. J. A., Sequences A049384 and A080219, ''The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences''.

[[Category:整数数列|J]]