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在[[數學]]中，'''雅可比橢圓函數'''是由[[卡爾·雅可比]]在1830年左右研究的一類[[橢圓函數]]。這類函數可用於[[擺]]之類的應用問題，並具有與[[三角函數]]相似的性質。

==介紹==
[[File:JacobiFunctionAbstract.png|width322px|thumb|雅可比矩形]]
雅可比橢圓函數有十二種，各對映到某個矩形的[[頂點 (幾何)|頂點]]連線。此諸頂點記作 <math>s\,</math> <math>c\,</math> <math>d\,</math> <math>n\,</math>。

視此矩形為[[複數]]平面的一部分，<math>s \,</math> 是原點，<math>c\,</math> 是實軸上的一點 <math>K,d \,</math> 是 <math>K+{\rm{i}}K'\,</math>，<math>n\,</math> 是 <math>{\rm{i}}K'\,</math>。<math>K\,</math> 與 <math>{\rm{i}}K'\,</math> 稱作四分之一週期。

十二個橢圓函數分別記為 <math> {\rm{sc}} , {\rm{sd}} , {\rm{sn}} , {\rm{cs}} , {\rm{cd}} , {\rm{cn}} , {\rm{ds}} , {\rm{dc}} , {\rm{dn}} , {\rm{ns}} , {\rm{nc}} , {\rm{nd}} \,</math>。為方便起見，取變數 <math>p, q \,</math>意指矩形上的任一對[[頂點 (幾何)|頂點]]，則函數 <math>pq\,</math> 是唯一滿足以下性質的週期[[亞純函數]]
* <math>p\,</math> 是單零點，<math>q\,</math> 是單極點。
* <math>pq\,</math> 在 <math>\vec{pq}</math> 方向的週期等於 <math>p,q\,</math> 距離的兩倍。對另兩個從 <math>p \,</math>出發的方向，<math>pq \,</math>亦滿足同樣性質。
* <math>pq\,</math> 在頂點 <math>p \,</math> <math>q\,</math> 的展式首項係數均為一。

表列如次：
{| class="prettytable"
|-
! 函數
! 週期
! 零點
! 極點
! [[留數]]
|-
| <math>\mathrm{sn}\,(z; k)</math>
| <math>4\, K,\ 2 \,\mathrm{i} K'</math>
| <math>2m K + 2 \,n\,\mathrm{i}\, K'</math>
| <math>2\,m K + (2n+1) \,\mathrm{i}\, K ' </math>
| <math>(-1)^m\frac{1}{k}</math>
|-
| <math>\mathrm{cn}\,(z; k)</math>
| <math>4\, K,\ 2 \,(K + \mathrm{i} K')</math>
| <math>(2m+1) \,K + 2\,n\,\mathrm{i}\, K'</math>
| <math>2\,m K + (2n+1) \,\mathrm{i}\, K'</math>
| <math>(-1)^{m+n}\frac{1}{{\rm{i}}k}</math>
|-
| <math>\mathrm{dn}\,(z; k)</math>
| <math>2\, K,\ 4\,\mathrm{i} K'</math>
| <math>(2\,m + 1)\, K + 2 \,(n+1)\,\mathrm{i}\, K'</math>
| <math>2\,m K + (2n+1) \,\mathrm{i}\, K'</math>
| <math>(-1)^{n-1}{\rm{i}}\,</math>
|-
| colspan="4" style="text-align:center" | <math>n\,</math> 與 <math>m\,</math> 是整數
|}

一般而言，須以平行四邊形代替上述矩形，以考慮更一般的週期。

==表為橢圓積分之逆==
以上定義略顯抽象，更具體的定義是將之表為某類[[橢圓積分]](第一類不完全橢圓積分)之逆。設
:<math>u=\int_0^\phi \frac{d\theta} {\sqrt {1-m \sin^2 \theta}}. </math>

橢圓函數  sn ''u'' 定義為
:<math>\operatorname {sn}\; u = \sin \phi\,</math>

而 cn ''u'' 定義為
:<math>\operatorname {cn}\; u = \cos \phi</math>

同理，
:<math>\operatorname {dn}\; u = \sqrt {1-m\sin^2 \phi}.\,</math>
這裡的 <math>m \in \mathbb{R}</math> 是自由變元，通常取 <math>0 \leq m \leq 1</math>。

剩下的九種橢圓函數能由這三種構造。

==反函數==
*<math>\mathrm{Arcsn}\,(x,k) = \int_0^x \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}}</math>
*<math>\mathrm{Arccn}\,(x,k) =\int_x^1 \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2+k^2t^2)}}</math>

==用Θ函數来定义==

雅可比椭圆函数也可以用[[Θ函數]]来定义。如果我们把<math>\vartheta(0;\tau)</math>简写为<math>\vartheta</math>，把<math>\vartheta_{01}(0;\tau), \vartheta_{10}(0;\tau), \vartheta_{11}(0;\tau)</math>分别简写为<math>\vartheta_{01}, \vartheta_{10}, \vartheta_{11}</math>（Theta常数），那么[[椭圆模]]''k''是<math>k=({\vartheta_{10} \over \vartheta})^2</math>。如果我们设<math>u = \pi \vartheta^2 z</math>，我们便有：

:<math>\mbox{sn}(u; k) = -{\vartheta \vartheta_{11}(z;\tau) \over \vartheta_{10} \vartheta_{01}(z;\tau)}</math>

:<math>\mbox{cn}(u; k) = {\vartheta_{01} \vartheta_{10}(z;\tau) \over \vartheta_{10} \vartheta_{01}(z;\tau)}</math>

:<math>\mbox{dn}(u; k) = {\vartheta_{01} \vartheta(z;\tau) \over \vartheta \vartheta_{01}(z;\tau)}</math>

==加法定理==
:<math>\operatorname{cn}^2 + \operatorname{sn}^2 = 1,\,</math>

:<math>\operatorname{dn}^2 + k^2 \operatorname{sn}^2 = 1.\,</math>

由此可見 (cn,sn,dn) 描出[[射影空間]] <math>\mathbb{P}^3(\mathbb{C})</math> 中兩個二次[[曲面]]之交，這同構於一條[[橢圓曲線]]。曲線上的[[群]]運算由下列加法公式描述：

:<math>\operatorname{cn}(x+y) = 
{\operatorname{cn}(x)\;\operatorname{cn}(y) 
- \operatorname{sn}(x)\;\operatorname{sn}(y)\;\operatorname{dn}(x)\;\operatorname{dn}(y) 
\over {1 - k^2 \;\operatorname{sn}^2 (x) \;\operatorname{sn}^2 (y)}},
</math>

:<math>\operatorname{sn}(x+y) = 
{\operatorname{sn}(x)\;\operatorname{cn}(y)\;\operatorname{dn}(y) +
\operatorname{sn}(y)\;\operatorname{cn}(x)\;\operatorname{dn}(x) 
\over {1 - k^2 \;\operatorname{sn}^2 (x)\; \operatorname{sn}^2 (y)}},
</math>

:<math>\operatorname{dn}(x+y) = 
{\operatorname{dn}(x)\;\operatorname{dn}(y) 
- k^2 \;\operatorname{sn}(x)\;\operatorname{sn}(y)\;\operatorname{cn}(x)\;\operatorname{cn}(y) 
\over {1 - k^2 \;\operatorname{sn}^2 (x)\; \operatorname{sn}^2 (y)}}.
</math>

==函数的平方之间的关系==

:<math>
-\operatorname{dn}^2(u)+(1-k^2)= -k^2\;\operatorname{cn}^2(u) = k^2\;\operatorname{sn}^2(u)-k^2
</math>

:<math>
(k^2-1)\;\operatorname{nd}^2(u)+(1-k^2)= k^2(k^2-1)\;\operatorname{sd}^2(u) = k^2\;\operatorname{cd}^2(u)-k^2
</math>

:<math>
(1-k^2)\;\operatorname{sc}^2(u)+(1-k^2)= (1-k^2)\;\operatorname{nc}^2(u) = \operatorname{dc}^2(u)-k^2
</math>

:<math>
\operatorname{cs}^2(u)+(1-k^2)=\operatorname{ds}^2(u)=\operatorname{ns}^2(u)-k^2
</math>

==常微分方程的解==
三个基本的雅可比椭圆函数的[[导数]]为：

:<math>
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\, \mathrm{sn}\,(z; k) = \mathrm{cn}\,(z;k)\, \mathrm{dn}\,(z;k),</math>

:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\, \mathrm{cn}\,(z; k) = -\mathrm{sn}\,(z;k)\, \mathrm{dn}\,(z;k),</math>

:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\, \mathrm{dn}\,(z; k) = - k^2 \mathrm{sn}\,(z;k)\, \mathrm{cn}\,(z;k).
</math>

根据以上的加法定理，可知它们是以下非线性[[常微分方程]]的解：

* <math>\mathrm{sn}\,(x;k)</math>是微分方程<math>\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} + (1+k^2) y - 2 k^2 y^3 = 0,</math>和<math> \left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d}x}\right)^2 = (1-y^2) (1-k^2 y^2)</math>的解；

* <math>\mathrm{cn}\,(x;k)</math>是微分方程<math>\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} + (1-2k^2) y + 2 k^2 y^3 = 0,</math>和<math> \left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d}x}\right)^2 = (1-y^2) (1-k^2 + k^2 y^2)</math>的解；

* <math>\mathrm{dn}\,(x;k)</math>是微分方程<math>\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} - (2 - k^2) y + 2 y^3 = 0,</math>和<math> \left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d}x}\right)^2 = (y^2 - 1) (1 - k^2 - y^2)</math>的解。

==图像==
{|
|[[File:JacobiSN.png|frame|]]
|[[File:JacobiCN.png|frame|]]
|}
{|
|[[File:JacobiDN plot.png|frame|]]
|}

==文獻==
*{{cite book
 | last = Abramowitz
 | first = Milton
 | authorlink =
 | coauthors = Stegun, Irene A. eds.
 | title = Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables
 | accessdate = 2007-07-25
 | date = 1972
 | publisher = Dover
 | location = New York
 | id = ISBN 0-486-61272-4
 }} 見 [http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_569.htm 第16章]

* Naum Illyich Akhiezer, ''Elements of the Theory of Elliptic Functions'', (1970) Moscow, translated into English as ''AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79'' (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
* E. T. Whittaker and G. N. Watson ''A Course of Modern Analysis'', (1940, 1996) Cambridge University Press. ISBN 0-521-58807-3

* Alfred George Greenhill, [http://www.archive.org/details/applicationselli00greerich The applications of elliptic functions] (London, New York, Macmillan, 1892)
* H. Hancock [http://www.archive.org/details/lecturestheorell00hancrich Lectures on the theory of elliptic functions] (New York, J. Wiley & sons, 1910)
* A. C. Dixon [http://www.archive.org/details/117736039  The elementary properties of the elliptic functions, with examples] (Macmillan, 1894)

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