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'''雅可比猜想'''（Jacobian conjecture）是多變量多項式的一個著名問題，最初是由數學家凱勒（Ott-Heinrich Keller）於1939年提出，之後Shreeram Abhyankar取現名，並將之廣為傳播，以作為[[代數幾何]]的問題中，只需稍多於[[微積分]]的知識就能闡述的一個例子。

雅可比猜想直至2017年仍未得到正確證明。

==雅可比行列式==
令''n''>1為固定的整數，考慮多項式''F''<sub>1</sub>, ... , ''F''<sub>n</sub>，變量為''X''=(''X''<sub>1</sub>, ... , ''X''<sub>n</sub>)，係數在[[特徵 (代數)|特徵]]為零的[[代數閉域]]''k''中。（可假設''k''為複數域<math>\mathbb C</math>。）也就是說<math>F_1,\ldots, F_n\in k[X]</math>。定義函數''F'': ''k''<sup>''n''</sup>→''k''<sup>''n''</sup>為
:''F''(''c''<sub>1</sub>, ... , ''c''<sub>n</sub>)=(''F''<sub>1</sub>(''c''<sub>1</sub>, ... , ''c''<sub>n</sub>), ... , ''F''<sub>n</sub>(''c''<sub>1</sub>, ... , ''c''<sub>n</sub>))
函數''F''的[[雅可比行列式]]''J<sub>F</sub>''是由''F''的偏導數組成的''n''×''n''矩陣的行列式

:<math>J_F = \left | \begin{matrix} \frac{\partial F_1}{\partial X_1} & \cdots & \frac{\partial F_1}{\partial X_n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial F_n}{\partial X_1} & \cdots & \frac{\partial F_n}{\partial X_n} \end{matrix} \right |,</math>

''J<sub>F</sub>''也是變量為''X''的多項式函數。

==敘述==
[[多變量微積分]]的[[反函數定理]]指出如在某一點有''J<sub>F</sub>'' ≠ 0，那麼在該點附近''F''有反函數。由於''k''是代數閉域，''J<sub>F</sub>''是多項式，因此''J<sub>F</sub>''必定在某些點上為0，除非''J<sub>F</sub>''是非零的[[常數函數]]。以下是一項基本結果：

:若''F''有[[反函數]]''G'': ''k''<sup>''n''</sup>→''k''<sup>''n''</sup>，則''J<sub>F</sub>''是非零的[[常數函數]]。

而其反命題則為雅可比猜想：<br />
令<math>k</math>為一[[特徵 (代數)|特徵]]為零的代數閉[[域 (數學)|域]]。若
#<math>F=(F_1,\dots,F_n)\in k[X]\times k[X]\times\dots k[X]</math>,
#''J<sub>F</sub>''是非零常數函數，（等價於以下條件：對於所有的<math>x\in k^n</math>，<math>F'(x)</math>皆是[[逆元素|可逆]]的[[線性變換]]）
則<math>F</math>有[[反函數]]，且此反函數亦屬於<math>k[X]</math>。

==外部連結==
*{{en}}[http://www.math.purdue.edu/~ttm/jacobian.html 莫宗堅簡論雅可比猜想的網頁]

{{Math-stub}}

[[Category:代数几何|Y]]
[[Category:多項式|Y]]
[[Category:猜想|Y]]