查看“雙極坐標系”的源代码

{{noteTA
|G1=物理學
|1=zh-hans:楞次; zh-hant:冷次;
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[[File:Iso1.svg|thumb|right|350px|雙極坐標系繪圖。圖中的紅色圓圈是 <math>\sigma\,\!</math>-等值曲線，藍色圓圈則是 <math>\tau\,\!</math>-等值曲線。]]

二維'''雙極坐標系'''（{{lang-en|Bipolar coordinates}}）是一個[[正交坐標系]]。學術界上有三種常用的雙極坐標系<ref name=bip>[http://mathworld.wolfram.com/ToroidalCoordinates.html MathWorld 的雙極坐標系]</ref>。除了在這裏討論的坐標系以外，另外兩種是非正交的[[雙心坐標系]]與[[雙角坐標系]]。

這裡所要討論的雙極坐標系建立於[[阿波羅尼奧斯圓]]。<math>\sigma\,\!</math> 的等值曲線是圓圈。 <math>\tau\,\!</math> 的等值曲線也是圓圈。兩組圓圈互相垂直相交。雙極坐標系有兩個[[焦點]] <math>F_{1}\,\!</math> 與 <math>F_{2}\,\!</math> ，其[[直角坐標系|直角坐標]] <math>(x,\ y)\,\!</math> 通常分別設定為 <math>( - a,\ 0)\,\!</math> 與 <math>(a,\ 0)\,\!</math> 。所以，這兩個焦點都處於[[直角坐標系]]的 x-軸。

雙極坐標系是好幾種三維[[正交坐標系]]的原始模。往 z-軸方向延伸，則可得到[[雙極圓柱坐標系]]。繞著 x-軸旋轉，即可得到[[雙球坐標系]]。繞著 y-軸旋轉，就可得到[[圓環坐標系]]。

==基本定義==
[[File:Bipolar coordinates.png|thumb|right|280px|雙極坐標的幾何詮釋。 <math>\overline{F_1 P}\,\!</math> 與 <math>\overline{F_2 P}\,\!</math> 的夾角 <math>\angle F_{1} P F_{2}\,\!</math> 的弧度是 <math>\sigma\,\!</math> 。<math>F_1 P\,\!</math> 與 <math>F_2 P\,\!</math> 的比例的[[自然對數]]是 <math>\tau\,\!</math> 。<math>\sigma\,\!</math> 與 <math>\tau\,\!</math> 的等值曲線都是圓圈，分別以紅色與藍色表示。兩條等值曲線以直角相交（以洋紅色表示）。]]
[[File:Bipolar sigma isosurfaces.png|right|280px]]
[[File:Bipolar tau isosurfaces.png|right|280px]]

在二維空間裏，一個點 P 的雙極坐標 <math>(\sigma,\ \tau)\,\!</math> 通常定義為
:<math>x = a \ \frac{\sinh \tau}{\cosh \tau - \cos \sigma}\,\!</math>，
:<math>y = a \ \frac{\sin \sigma}{\cosh \tau - \cos \sigma}\,\!</math>；

其中，點 <math>P\,\!</math> 的 <math>\sigma\,\!</math> 坐標等於 <math>\angle F_{1} P F_{2}\,\!</math> 的弧度，<math>\tau\,\!</math> 坐標等於 <math>d_1=F_1 P\,\!</math> 與 <math>d_2=F_2 P\,\!</math> 的比例的[[自然對數]]
:<math>\tau = \ln \frac{d_{1}}{d_{2}}\,\!</math>。

（回想 <math>F_1\,\!</math> 與 <math>F_2\,\!</math> 的坐標分別為 <math>( - a,\ 0)\,\!</math> 與 <math>(a,\ 0)\,\!</math> ）。

==等值曲線==
不同 <math>\sigma\,\!</math> 的等值曲線是一組不同圓心，而相交於兩個焦點 <math>F_1\,\!</math> 與 <math>F_2\,\!</math> 的圓圈：
:<math>x^{2} +( y - a \cot \sigma )^2 = \frac{a^2}{\sin^2 \sigma}\,\!</math>

它們的圓心都包含於 y-軸。正值 <math>\sigma\,\!</math> 的圓圈的圓心都在 x-軸以上；而負值 <math>\sigma\,\!</math> 的圓圈的圓心則在 x-軸以下。當絕對值 <math>\left| \sigma \right|\,\!</math> 增加時，圓半徑會減小，圓心會靠近原點。當圓心與原點同點時，<math>\left| \sigma \right|\,\!</math> 達到最大值 <math>\pi/2\,\!</math> 。

不同 <math>\tau\,\!</math> 的等值曲線是一組圍著焦點，互不相交，不同半徑的圓圈。半徑為
:<math>y^{2} +\left( x - a \coth \tau \right)^{2} = \frac{a^{2}}{\sinh^{2} \tau}\,\!</math> 。

它們的圓心都包含於 x-軸。正值 <math>\tau\,\!</math> 的圓圈在 <math>x>0\,\!</math> 半平面；而負值 <math>\tau\,\!</math> 的圓圈在 <math>x<0\,\!</math> 半平面。<math>\tau=0\,\!</math> 曲線則與 y-軸同軸。當 <math>\tau\,\!</math> 值增加時，圓圈的半徑會減少，圓心會靠近焦點。

===逆變換===
雙極坐標 <math>(\sigma,\ \tau)\,\!</math> 可以用直角坐標 <math>(x,\ y)\,\!</math> 來表達。點 P 與兩個焦點之間的距離是
:<math>d_{1}^{2} = (x + a)^{2} + y^{2}\,\!</math> ，
:<math>d_{2}^{2} = (x - a)^{2} + y^{2}\,\!</math> 。

<math>\tau\,\!</math> 是 <math>d_{1}\,\!</math> 與 <math>d_{2}\,\!</math> 的比例的[[自然對數]]：
:<math>\tau = \ln \frac{d_{1}}{d_{2}}\,\!</math> 。

<math>\angle F_1PF_2\,\!</math> 是兩條從點 P 到兩個焦點的線段 <math>\overline{F_1 P}\,\!</math> 與 <math>\overline{F_2 P}\,\!</math> 的夾角。這夾角的弧度是 <math>\sigma\,\!</math> 。用[[餘弦定理]]來計算：
:<math>\cos \sigma =\frac{d_1^2 + d_2^2 - 4a^2}{2 d_1 d_2}\,\!</math> ；

==標度因子==
雙極坐標 <math>(\sigma,\ \tau)\,\!</math> 的標度因子相等：
:<math>h_{\sigma} = h_{\tau} = \frac{a}{\cosh \tau - \cos\sigma}\,\!</math> 。

所以，無窮小面積元素等於
:<math>dA = \frac{a^2}{(\cosh\tau - \cos\sigma)^{2}} \ d\sigma d\tau\,\!</math> 。

[[拉普拉斯算子]]是
:<math>\nabla^{2} \Phi =\left(\frac{\cosh \tau - \cos\sigma}{a}\right)^2
(\frac{\partial^2\Phi}{\partial \sigma^2} +\frac{\partial^2\Phi}{\partial \tau^2})\,\!</math> 。 

其它微分算子，例如 <math>\nabla \cdot \mathbf{F}\,\!</math> 與 <math>\nabla \times \mathbf{F}\,\!</math> ，都可以用雙極坐標表達，只需要將標度因子代入[[正交坐標系]]的一般方程式內。

==應用==
雙極坐標有一個經典的應用，這是在解析像[[拉普拉斯方程]]或[[亥姆霍茲方程]]這類的[[偏微分方程式]]。在這些方程式裏，雙極坐標允許[[分離變數法]]的使用。一個典型的例題是，有兩個互相平行的圓柱[[導體]]，請問其周圍的[[電場]]為什麼？應用雙極坐標，我們可以精緻地分析這例題。

==參閱==
*[[拉普拉斯-龍格-冷次向量#保守性與對稱性|拉普拉斯-龍格-冷次向量]]
{{正交坐標系}}

==參考文獻==
* H. Bateman "Spheroidal and bipolar coordinates", ''Duke Mathematical Journal'' 4 (1938), no. 1, 39–50。
* Lockwood, E. H. "Bipolar Coordinates." Chapter 25 in ''A Book of Curves''. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 186-190, 1967。
* Korn GA and Korn TM, (1961) ''Mathematical Handbook for Scientists and Engineers'', McGraw-Hill。

<references />

[[Category:坐标系|S]]