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[[File:Bispherical_coordinates.png|thumb|right|350px|圖 1 ）雙球坐標系的幾個[[坐標曲面]]。紅色環面的 <math>\sigma=45^{\circ}</math> 。藍色圓球面的 <math>\tau=0.5</math> 。黃色半平面的 <math>\phi=60^{\circ}</math> 。z-軸是垂直的，以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點 P （以黑色的圓球表示），[[直角坐標]]大約為 <math>(0.841,\ -1.456,\ 1.239)</math> 。]]
[[File:Apollonian_circles.png|thumb|right|350px|圖 2 ）雙極坐標系繪圖。紅色圓圈變成上圖的紅色環面（ <math>\sigma</math>-坐標曲面），而藍色圓圈則變成藍色圓球面（ <math>\tau</math>-坐標曲面）。]]

'''雙球坐標系'''（{{lang-en|Bispherical coordinates}}）是一種三維[[正交坐標系]]。設定二維[[雙極坐標系]]包含於 xz-平面。設定這雙極坐標系的兩個焦點 <math>F_{1}</math> 與 <math>F_{2}</math> 包含於 z-軸。將雙極坐標系繞著 z-軸旋轉，則可以得到雙球坐標系。在這二維雙極坐標系裏，坐標 <math>\sigma</math> 的等值曲線是圓圈。 經過旋轉後，圓圈變成一個環面，而圓圈的圓心變成一個包含於 xy-平面的圓圈，稱為'''環心圓'''。稱環心圓至環面的距離為'''環小半徑'''。

==基本定義==
在三維空間裏，一個點 P 的雙球坐標 <math>(\sigma,\ \tau,\ \phi)</math> 最常見的定義是
:<math>x = a \ \frac{\sin \sigma}{\cosh \tau - \cos \sigma} \cos \phi</math> 、
:<math>y = a \ \frac{\sin \sigma}{\cosh \tau - \cos \sigma} \sin \phi</math> 、
:<math>z = a \ \frac{\sinh \tau}{\cosh \tau - \cos \sigma}</math> ；

其中，<math>(x,\ y,\ z)</math> 是[[直角坐標]]，<math>\sigma</math> 坐標是 <math>\angle F_{1} P F_{2}</math> 的[[弧度]]，<math>\tau</math> 坐標是點 P 離兩個焦點的距離 <math>d_{1}</math> 與 <math>d_{2}</math> 的比例的[[自然對數]]：
:<math>\tau = \ln \frac{d_{1}}{d_{2}}</math> 。

===坐標曲面===
每一個紅色的 <math>\sigma</math>-[[坐標曲面]]都是包含了兩個焦點 <math>F_1</math> 與 <math>F_2</math> 環面。，每一個環面的環心圓都不相同。這些環心圓都包含於 xy-平面。環小半徑為
:<math>z^{2} +\left( \sqrt{x^{2} + y^{2}} - a \cot \sigma \right)^{2} = \frac{a^{2}}{\sin^{2} \sigma}</math> 。

當絕對值 <math>\left| \sigma \right|</math> 增加時，環小半徑會減小，環心圓會靠近原點。當環心圓與原點同點時，<math>\left| \sigma \right|</math> 達到最大值 <math>\pi/2</math> 。

每一個藍色的 <math>\tau</math>-[[坐標曲面]]都是不相交的圓球面。每一個圓球面都包圍著一個焦點；圓球心都包含於 z-軸。圓球半徑為
:<math>x^{2} + y^{2}+( z - a \coth \tau)^{2} = \frac{a^{2}}{\sinh^{2} \tau}</math> 。

它們的圓球心都包含於 z-軸。正值 <math>\tau</math> 的圓球面在 <math>z>0</math> 半空間；而負值 <math>\tau</math> 的圓球面在 <math>z<0</math> 半空間。<math>\tau=0</math> 曲線則與 xy-平面同平面。當 <math>\tau</math> 值增加時，圓球面的半徑會減少，圓球心會靠近焦點。

===逆變換===
[[File:Bipolar coordinates.png|thumb|right|350px|圖 3 ）點 P 的坐標 <math>\sigma</math> 與 <math>\tau</math> 的幾何意義。在一個方位角 <math>\phi</math> 為常數的平面裏，雙球坐標系變成雙極坐標系。<math>\sigma</math> 是角 <math>\angle F_1PF_2</math> 的弧度。<math>\tau</math> 是點 P 離兩個焦點的距離 <math>d_{1}</math> 與 <math>d_{2}</math> 的比例的[[自然對數]]。<math>\sigma</math> 與 <math>\tau</math> 的等值曲線都是圓圈，分別以紅色與藍色表示。兩條等值曲線以直角相交（表示在洋紅色的方盒裏）。]]

雙球坐標 <math>(\sigma,\ \tau,\ \phi)</math> 可以用直角坐標 <math>(x,\ y,\ z)</math> 來表示。方位角 <math>\phi</math> 的公式為
:<math>\tan \phi = \frac{y}{x}</math> 。

點 P 與兩個焦點之間的距離是
:<math>d_{1}^{2} = x^{2} + y^{2} + (z + a)^{2}</math> 、
:<math>d_{2}^{2} = x^{2} + y^{2} + (z - a)^{2}</math> 。

<math>\tau</math> 是 <math>d_{1}</math> 與 <math>d_{2}</math> 的比例的[[自然對數]]：
:<math>\tau = \ln \frac{d_{1}}{d_{2}}</math> 。

如圖 3 ，<math>\angle F_1PF_2</math> 是兩條從點 P 到兩個焦點的線段 之間的夾角。這夾角的弧度是 <math>\sigma</math> 。用[[餘弦定理]]來計算：
:<math>\cos \sigma =\frac{d_1^2 + d_2^2 - 4a^2}{2 d_1 d_2}</math> 。

===標度因子===
雙球坐標 <math>\sigma</math> 與 <math>\tau</math> 的標度因子相等：
:<math>h_{\sigma} = h_{\tau} = \frac{a}{\cosh \tau - \cos\sigma}</math> 。

方位角的標度因子為
:<math>h_{\phi} = \frac{a \sin \sigma}{\cosh \tau - \cos\sigma}</math> 。

無窮小體積元素是
:<math>dV = \frac{a^{3}\sin \sigma}{( \cosh \tau - \cos\sigma)^{3}} d\sigma d\tau d\phi</math> 。

[[拉普拉斯算子]]是
:<math>\nabla^{2} \Phi =
\frac{\left( \cosh \tau - \cos\sigma \right)^{3}}{a^{2}\sin \sigma} 
\left[ 
\frac{\partial}{\partial \sigma}
\left( \frac{\sin \sigma}{\cosh \tau - \cos\sigma}
\frac{\partial \Phi}{\partial \sigma}
\right) + 
\sin \sigma \frac{\partial}{\partial \tau}
\left( \frac{1}{\cosh \tau - \cos\sigma}
\frac{\partial \Phi}{\partial \tau}
\right) + 
\frac{1}{\sin \sigma \left( \cosh \tau - \cos\sigma \right)}
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \phi^{2}}
\right]</math> 。

其它微分算子，像 <math>\nabla \cdot \mathbf{F}</math> ， <math>\nabla \times \mathbf{F}</math> ，都可以用 <math>(\sigma,\ \tau,\ z)</math> 坐標表示，只要將標度因子代入在[[正交坐標系]]條目內對應的一般公式。

==應用==
雙球坐標有一個經典的應用，這是在解析像[[拉普拉斯方程]]或[[亥姆霍茲方程]]這類的[[偏微分方程式]]。在這些方程式裏，雙球坐標允許[[分離變數法]]的使用。一個典型的例題是，有兩個不同半徑的圓球[[導體]]，請問其周圍的[[電位]]與[[電場]]為什麼？應用雙球坐標，我們可以精緻地分析這个问題。

==參閱==
{{正交坐標系}}

==參考目錄==

* {{cite book | author = Morse PM, Feshbach H | date = 1953 | title = Methods of Theoretical Physics, Part I | publisher = McGraw-Hill | location = New York | pages = p. 665–666}} 
* {{cite book | author = Korn GA, Korn TM |date = 1961 | title = Mathematical Handbook for Scientists and Engineers | publisher = McGraw-Hill | location = New York | pages = p. 182}}
* {{cite book | author = Zwillinger D | date = 1992 | title = Handbook of Integration | publisher = Jones and Bartlett | location = Boston, MA | isbn = 0-86720-293-9 | pages = p. 113}} 
* {{cite book | author = Moon PH, Spencer DE | date = 1988 | chapter = Toroidal Coordinates (η, θ, ψ) | title = Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions | edition = 2nd ed., 3rd revised printing | publisher = Springer Verlag | location = New York | isbn = 0-387-02732-7 | pages = pp. 110–112 (Section IV, E4Ry)}}

[[Category:坐標系|S]]