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[[File:Radon transform.png|thumb| 雷登變換將函數 <math>f(x, y)</math> 映射到<math>f(\alpha, s)</math>。]]
[[File:Sinogram - Two Square Indicator Phantom.svg|thumb|right| 本圖是將下圖做雷登變換後得到的影像，越亮的區域代表值越大，黑色的區域為0。]]
[[File:Sinogram Source - Two Squares Phantom.png|thumb|right| 原始函數是白色區域為1，黑色區域為0。]]

[[數學]]上，'''雷登變換'''是一種[[積分變換]]，這個變換將二維平面函數<math>f</math>變換成一個定義在二維空間上的一個線性函數<math>{\cal R} f</math>(<math>{\cal R} f</math>的意思是對<math>f</math>做雷登變換)，而<math>{\cal R} f</math>的值為函數<math>f</math>對該條線<math>{\cal R} f</math>做積分的值。以右圖為例，黃色區域即是<math>f</math>，<math>A</math>線則是代表<math>{\cal R} f</math>。

雷登變換是Johann Radon在西元1917年提出<ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Radon_transform#CITEREFRadon1917</ref>，他也同時提出雷登變換的反變換公式，以及三次空間的雷登變換公式。
三次空間雷登變換，是對一個平面積分(對線積分則是[[ X-ray transform]])。而在不久之後，更高維度的[[歐幾里得空間]]的雷登變換被提出，更詳盡的廣義雷登變換要查[[Integral geometry]]。
在[[複數]]上有和雷登變換相似的[[Penrose transform]]，雷登變換被廣泛的應用在[[斷層掃描]]，雷登反變換可以從斷層掃描的剖面圖重建出投影前的函數。

==簡介==
若函數<math>f</math>表示一個未知的密度，對<math>f</math>做雷登變換，相當於得到<math>f</math>投影後的訊號，舉例來說：<math>f</math>相當於人體組織，斷層掃描的輸出訊號相當於經過雷登變換的<math>f</math>。
因此，可以用雷登反變換從投影後的密度函數，重建原始的密度函數，它也是重建斷層掃描的數學理論基礎，另一個被廣為人知名詞的是[[三維重建]]。

雷登變換後的訊號稱作"""正弦圖"""(sinogram)，因為一個偏離中心的點的雷登變換是一個正弦曲線(sinusoid)。所以對一些小點的雷登變換，會看起來像很多不同振福、相位的[[正弦函數]]重疊在一起。

雷登變換可以應用在：[[X射線電腦斷層掃描]]、[[條碼]]掃描器、[[macromolecular assemblies]]的[[電子顯微鏡]]例如：[[病毒]]、[[Reflection seismology]]、[[蛋白質複合體]]，而且也是[[雙曲線]]
[[偏微分方程]](hyperbolic partial differential equations)的解。

==定義==
令密度函數<math>f({\bf x})=f(x,y)</math>是一個的定義域為 <math>{\bf R}^2</math> 的緊緻台(compact support)。令<math>{\cal R}</math>為雷登變換的運算子(operator)，則<math>{\cal R} f(x,y)</math>是一個定義在
<math>{\bf R}^2</math>空間中的直線<math>L</math>，它的定義如下
:<math>{\cal R} f(L) = \int_L f({\bf x}) |d {\bf x}|</math>
可以把直線 <math>L</math>改寫成一個弧長<math>z</math>的參數式
:<math> (x(z), y(z)) = \Big( (z\sin\alpha+s\cos\alpha), (-z\cos\alpha+s\sin\alpha)  \Big) \,</math>
<math>s</math>是直線<math>L</math>和原點的距離，而<math>\alpha</math>是垂直於<math>L</math>的法線和<math>x</math>軸的夾角，
接下來，我們可以令<math>(\alpha, s)</math>當作<math>{\bf R}^2</math>平面上的新座標系統，把這個座標變換帶入到雷登變換得到
:<math>\begin{align}{\cal R} f(\alpha,s) &= \int_{-\infty}^{\infty} f(x(z),y(z))\, dz\\ &= \int_{-\infty}^{\infty} f\big(  (z\sin\alpha+s\cos\alpha), (-z\cos\alpha+s\sin\alpha) \big)\, dz\end{align}</math>
更進一步，我們可以把<math>{\bf R}^2</math>推廣到<math>{\bf R}^n</math>的[[歐幾里得空間]]，對一個緊緻台(compact support)的連續函數<math>f</math>做雷登變換後的函數<math>{\cal R} f</math>是定義在
<math>\Sigma_n</math>的[[超平面]]上，
:<math>{\cal R} f(\xi) = \int_\xi f(\mathbf{x})\, d\sigma(\mathbf{x}),\quad {\rm for} \quad \xi \in \Sigma_n </math>
積分的對象是自然超平面測度(natural hypersurface measure)，而<math>d \Delta</math>是原本的<math>|d {\bf x}|</math>的高維推廣。可以觀察到對<math>\Sigma_n</math>裡的任意元素，
都是某個軌跡方程式的解
:<math> {\bf x} \cdot \alpha = s .</math>
而<math>\alpha</math>是一個[[單位向量]]且屬於<math>{\rm S}^{n-1}</math>，<math>s \in \mathbb{R}</math>，n維的雷登變換可以改寫成定義在 <math>{\rm S}^{n-1} \times {\bf R}</math>上的函數
:<math>{\cal R} f(\alpha,s) = \int_{\mathbf{x}\cdot\alpha = s} f(\mathbf{x})\, d\sigma(\mathbf{x}) </math>
也可以藉由其他方式將雷登變換推廣，也就是對<math>{\bf R}^n</math>的k維仿射子空間作(k-dimensional affine subspaces)積分。
而這種推廣雷登變換的特殊情況被廣泛應用在[[X射線電腦斷層掃描]]，他的做法是對一條直線積分。

==與傅立葉變換的關係==
主條目：[[Projection-slice theorem]]

雷登變換和傅立葉變換之間有很強的關聯性。單變數的傅立葉變換的定義是
:<math>\hat{f}(\omega)=\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-2\pi ix\omega }\,dx </math>
而雙變數<math>({\bf x}) = (x, y) </math>的傅立葉變換是
:<math> \hat{f}(\mathbf{w})=\int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty }^{\infty}  f(\mathbf{x})e^{-2\pi i\mathbf{x}\cdot\mathbf{w}}\,dx\, dy</math>
把雷登變換的運算子的表記從<math>{\cal R}[f](s)</math> 改成 <math>{\cal R}[f](\alpha, s)</math>。根據[[Projection-slice theorem]]學說，
:<math> \widehat{\mathcal{R}_{\alpha}[f]}(\sigma)=\hat{f}(\sigma\mathbf{n}(\alpha)), \quad \mathbf{n}(\alpha)= (\cos \alpha,\sin\alpha)</math>
因此一個初始函數沿著一條線傾角<math>\alpha</math>的二維的傅立葉變換，相當於對雷登變換做一維的傅立葉變換。這個結果可以推廣到n維
:<math>\hat{f}(r\alpha) = \int_{-\infty}^\infty \mathcal{R}f(\alpha,s)e^{-2\pi i sr}\, ds</math>

==對偶變換==
對偶雷登變換是雷登變換的[[埃爾米特伴隨]]。令在空間<math>\Sigma_n</math>上的函數<math>g</math>，而對偶雷登變換的運算子定義為<math>{\cal R}^*</math>。作用在<math>g</math>上
:<math>\mathcal{R}^*g(x) = \int_{x\in\xi} g(\xi)\,d\mu(\xi)</math>
積分的範圍是所有和<math>x \in {\bf R}^2</math>相交的超平面集合，而測度(measure)<math> d \mu</math>是集合<math> \xi | x \in \xi</math>特殊的機率測度(Probability measure)，
當對著<math> x </math>旋轉時，<math> d \mu</math>的值不會改變

對於一個二維的雷登變換，其對偶變換是
:<math>\mathcal{R}^*g(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{\alpha=0}^{2\pi}g(\alpha,\mathbf{n}(\alpha)\cdot\mathbf{x})\,d\alpha </math>
在影像處理的文章中，對偶變換經常被稱作[[反向傳播算法]](back propagation) <ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Radon_transform#CITEREFRoerdink2001</ref>，
因為

'''交結性質'''

根據[[拉普拉斯算子]]<math>\Delta</math>在 <math>{\bf R}^n</math>的定義是
:<math>\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x_1^2}+\cdots+\frac{\partial^2}{\partial x_n^2} </math>
這是一個[[旋轉不變性]]的二階[[微分算子]]，在空間<math>\Sigma_n</math>，半徑的二階倒數(second derivative)
:<math>Lf(\alpha,s) \equiv \frac{\partial^2}{\partial s^2} f(\alpha,s)</math>
也是[[旋轉不變性]]。
而雷登變換與其對偶變換屬於交結運算子(intertwining operator)，是因為
:<math>\mathcal{R}(\Delta f) = L (\mathcal{R}f),\quad \mathcal{R}^* (Lg) = \Delta(\mathcal{R}^*g)</math>

==重建方法==

'''重建處理'''是指從投影影像重建一個影像，或是一個函數<math>f</math>。重建處理是一種[[逆問題]](inverse problem)。

'''雷登反變換公式'''

對於二維雷登變換，最常被使用的解析公式(analytical formula)<math>f</math>，是Filtered Backprojection Formula或雷登反變換公式，反變換公式為
:<math>f(\mathbf{x})=\int^{\pi}_{0}(\mathcal{R}f(\cdot,\theta)*h)(\left\langle\mathbf{x},\mathbf{n}_{\theta} \right\rangle) 
d\theta</math> <ref>http://statweb.stanford.edu/~candes/math262/Lectures/Lecture09.pdf</ref>
函數<math>h</math>滿足<math>\hat{h}(k) = |k| </math><ref>http://statweb.stanford.edu/~candes/math262/Lectures/Lecture10.pdf</ref>，卷積核 (convolution kernel) <math>h</math>在一些文章中稱作Ramp filter。

'''不適定問題 (ill-posedness)'''

直覺上，反變換公式應該和微分類似，<math> \widehat{\frac{d}{dx}} f(x) = i k \hat{f}(k) </math>。我們可以看的出來反變換公式
的行為類似微分。大致上來說，這個反變換公式把目標奇異化(singular)；要如何量化雷登反轉化的不適定問題 (ill-posedness)呢？首先可以寫出
:<math>\widehat{\mathcal{R}^*\mathcal{R}g}(k)=\frac{1}{||\mathbf{k}||}\hat{g}(\mathbf{k})</math>
<math>{\cal R}^* </math>即是前面定義的反變換運算子，且伴隨著(adjoint to)雷登變換，因此<math> g({\bf x}) = e^{i \langle {\bf k}_0, {\bf x} \rangle}</math>，上式變成
:<math> {\cal R}^* {\cal R} g =  \frac{1}{||{\bf k}||} e^{i \langle {\bf k}_0, {\bf x}  \rangle } </math>
複數指數函數<math>e^{i \langle {\bf k}_0, {\bf x}  \rangle } </math>，是<math>{\cal R}^* {\cal R}</math>的[[固有函數]] (eigenfunction) ，
而特徵值 (eigenvalue)為<math>\frac{1}{||{\bf k}||}</math>。<math>{\cal R}</math>的奇異值 (singular values) 是<math>\sqrt{\frac{1}{||{\bf k}||}}</math>，
因為這些奇異值 (singular values)會趨近於0，所以<math>{\cal R}^{-1}</math>是無界的(unbounded) <ref>http://statweb.stanford.edu/~candes/math262/Lectures/Lecture10.pdf</ref>。

==反變換公式==

外顯(explicit)且計算效率好的雷登反變換公式，以及他的對偶是存在的。n維的反雷登變換可以由<ref>{{harvnb|Helgason|1984|loc=Theorem I.2.13}}</ref>
:<math>c_n f = (-\Delta)^{(n-1)/2} {\cal R}^* \{ {\cal R} f \} </math>
其中
:<math>c_n = (4\pi)^{(n-1)/2}\frac{\Gamma(n/2)}{\Gamma(1/2)} </math>
而<math>\Delta</math>是[[拉普拉斯算子]](Laplacian)，<math> (-\Delta)^{(n-1)/2}</math>是[[偽微分算子]](pseudodifferential operator)
:<math>\mathcal{F}\left[(-\Delta)^{(n-1)/2}\phi\right](\xi) = |2\pi\xi|^{n-1}\mathcal{F}\phi(\xi).</math>
<math>\mathcal{F}</math>是[[傅立葉變換]]的運算子(operator)。

==參見==
*[https://en.wikipedia.org/wiki/Deconvolution Deconvolution]
*[https://en.wikipedia.org/wiki/X-ray_transform X-ray transform]
*[https://en.wikipedia.org/wiki/Funk_transform Funk transform]
*[[霍夫變換]]
*[[:迭代稀疏漸近最小方差算法|疊代稀疏漸近最小方差算法]]

==注釋==
<references/>

==參考==
* {{citation | last = Deans | first = Stanley R. | title = The Radon Transform and Some of Its Applications | year = 1983 | publisher = John Wiley & Sons | location = New York }}.
*{{Citation | last1=Helgason | first1=Sigurdur | title=Geometric analysis on symmetric spaces | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | edition=2nd | series=Mathematical Surveys and Monographs | isbn=978-0-8218-4530-1 | mr=2463854  | year=2008 | volume=39}}.
*{{citation|first=Sigurdur|last=Helgason|authorlink=Sigurdur Helgason (mathematician)|title=Groups and Geometric Analysis: Integral Geometry, Invariant Differential Operators, and Spherical Functions|year=1984|publisher=Academic Press|isbn=0-12-338301-3}}.
* {{citation | last = Herman | first = Gabor T.|authorlink=Gabor Herman | title = Fundamentals of Computerized Tomography: Image Reconstruction from Projections | year = 2009 | publisher = Springer | edition=2nd | isbn=978-1-85233-617-2}}.
*{{springer|id=r/r077190|title=Radon transform|first=R.A.|last=Minlos}}.
*{{citation|first=Frank|last=Natterer|title=The Mathematics of Computerized Tomography|series=Classics in Applied Mathematics|volume=32|publisher=Society for Industrial and Applied Mathematics|isbn=0-89871-493-1}}
*{{citation|first1=Frank|last1=Natterer|first2=Frank|last2=Wübbeling|title=Mathematical Methods in Image Reconstruction|publisher=Society for Industrial and Applied Mathematics|isbn=0-89871-472-9}}.
*{{citation | title= Über die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte längs gewisser Mannigfaltigkeiten | last= Radon | first= Johann | authorlink= Johann Radon | journal= Berichte über die Verhandlungen der Königlich-Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig, Mathematisch-Physische Klasse [Reports on the proceedings of the Royal Saxonian Academy of Sciences at Leipzig, mathematical and physical section] | location= Leipzig | publisher= Teubner | year= 1917 | issue= 69 | pages= 262–277}}; ''Translation:'' {{citation | title= On the determination of functions from their integral values along certain manifolds | journal= IEEE Transactions on Medical Imaging | year= 1986 | volume = 5 | pages = 170–176 | author= Radon, J. | author2= Parks, P.C. (translator) | doi= 10.1109/TMI.1986.4307775 | pmid=18244009 | issue= 4}}.
*{{springer|id=t/t092980|title=Tomography|first=J.B.T.M.|last=Roerdink}}.
*{{MathWorld|urlname=RadonTransform|pagename=Radon Transform}}.



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