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{{noteTA|G1=物理學}}
{{distinguish|電壓|電勢}}
[[File:Faraday disk - National Museum of Nature and Science, Tokyo - DSC07366.JPG|right|thumb|200px|法拉第圓盤是同極發電機的原型。將銅圓盤旋轉於固定不動的馬蹄形磁鐵，由於洛伦兹力的作用於銅圓盤的電子，會生成動生電動勢。]]

在[[電路學]]裏，'''電動勢'''（{{lang-en|'''electromotive force'''}}，縮寫為{{lang|en|'''emf'''}}）表徵一些電路元件供應[[電能]]的特性。這些電路元件稱為「電動勢源」。[[電化電池]]、[[太陽能電池]]、[[燃料電池]]、[[熱電效應|熱電裝置]]、[[發電機]]等等，都是電動勢源。電動勢源所供應的能量每單位電荷是其電動勢<ref name=Schaum>
{{cite book |title=Schaum's outline of theory and problems of beginning physics II |author=Alvin M. Halpern, Erich Erlbach |url=http://books.google.com/books?id=vN2chIay624C&pg=PA138 |page=138 |isbn=0070257078 |year=1998 |publisher=McGraw-Hill Professional }}
</ref>。假設，電荷 <math>Q\,</math> 移動經過一個電動勢源後，獲得了能量 <math>W\,</math> ，則此元件的電動勢定义為 <math>\mathcal{E} =\frac{W}{Q}</math> <ref name="EandE">本文中的手写体<math>\mathcal{E}</math>代表电动势，而印刷体的<math>E\,</math>代表[[电场强度]]。电动势与电场强度的符号都是大写英文字母[[E]]。</ref>。通常，這能量是分離正負電荷所做的功，由於這正負電荷被分離至元件的兩端，會出現對應電場與[[電壓|電壓差]]。

在[[電磁學]]裏，電動勢又分為兩種：「'''感生電動勢'''」與「'''動生電動勢'''」。根據[[法拉第感應定律]]，處於含時磁場的閉電路，由於磁場隨著時間而改變，會有感生電動勢出現於閉電路。感生電動勢等於電場沿著閉電路的路徑積分。處於閉電路的帶電粒子會感受到電場，因而產生電流。

移動於磁場的細直導線，其內部會出現動生電動勢。處於這導線的電荷，根據[[勞侖茲力定律]]，會感受到[[勞侖茲力]]，從而造成正負電荷分離至直棍的兩端。這動作會形成一個電場與伴隨的電場力，抗拒勞侖茲力，直到兩種作用力達成平衡。

==歷史==
[[File:Ohm3.gif|200px|right|thumb|[[格奧爾格·歐姆]]（1789年—1854年）]]
從1825年到1826年之間，[[格奧爾格·歐姆]]做了很多有關於[[電路]]的實驗。1827年，在他發表的書《直流電路的數學研究》（''{{lang|de|Die galvanische Kette, mathematisch bearbeitet}}''）裏面，論述了很多這些實驗和從這些實驗中得到的結果，包括著名的「[[歐姆定律]]」。歐姆注意到電路所需要的電源是由電池供給的，電池與電路內的各種物理現象應該有密切關係。他推論電池具有某種「驅動力」，能夠驅使電流流動於電路。他將幾個[[伏打电堆|伏打電池]]串聯在一起，發覺電流與伏打電池的數量成正比。因此，他提出驅動力與電流成正比。這驅動力就是現在的電動勢，在一個簡單的電阻電路裏，電動勢等於[[電流]]乘以[[電阻]]。

後來，於1831年，[[麥可·法拉第]]做了一系列有關電磁感應的實驗，從這些實驗，他發現以下幾點：
#當改變載流導線的電流時，附近的[[閉迴路|閉電路]]會被感應出電流。
#當移動[[磁鐵]]時，附近的閉電路會被感應出電流。
#當移動閉電路於載流導線或磁鐵附近時，這閉電路會被感應出電流。

於1832年，法拉第又發現，產生於不同導線的感應電流與導線的[[電導率]]成正比。由於電導率與電阻成反比，這顯示出感應作用涉及了電動勢，感應電流是由電動勢驅使導線的電荷移動而形成的；而且，不論導線是開電路，或是閉電路，都會感應出電動勢<ref>{{citation | author=Whittaker, E. T.|title=A history of the theories of aether and electricity. Vol 1| pages= pp. 95-96, 191-192|publisher=Nelson, London |year=1951|url=http://www.archive.org/details/historyoftheorie00whitrich}}</ref>。

==嚴格定義==
當處於平衡狀態時，在一個呈開電路狀態的電動勢源元件（例如，電池）內部，電動勢促使正電荷和負電荷被分離至元件兩端。電荷分離形成的[[保守力|保守性]]靜電場 <math> \mathbf{E}_{cs}</math> 所產生的電場力，完全抵銷了產生電動勢 <math>\mathcal{E}</math> 的作用力。電場 <math> \mathbf{E}_{cs}</math> 沿著電動勢源的內部路徑，從負端點 <math>a</math> 到正端點 <math>b</math> 的積分，與電動勢大小相等，正負相反。電動勢乃是遷移正電荷於電動勢源的內部路徑，從負端點到正端點，抗拒電場 <math> \mathbf{E}_{cs}</math> 所做的功每單位電荷<ref name=Griffiths> 
{{citation
 | title = Introduction to Electrodynamics
 | author = David J Griffiths
 | publisher = Pearson/Adisson Wesley
 | year = 1999
 | isbn = 013805326X
 | page = 292–300
 | edition=3rd
 }}</ref>。以方程式表達，
:<math>\mathcal{E} = - \int_{a}^{b} \mathbf{E}_{cs} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{\ell}</math> ；

其中，<math>\mathrm{d} \boldsymbol{\ell}</math> 是微小線元素向量。

從電動勢源，這正電荷會感受到的電場 <math> \mathbf{E}_{emf}</math> ，其與電動勢的關係為
:<math>\mathcal{E} =\int_{a}^{b} \mathbf{E}_{emf} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{\ell}</math> 。<span style="position:absolute;right:15%">（1）</span>

對於閉迴路案例，假設閉迴路 <math>\mathbb{C}</math> 所圍住的固定曲面，在這曲面的磁場 <math>\mathbf{B}</math> 與時間有關，則根據法拉第感應定律，會有感生電動勢 <math>\mathcal{E}</math> 出現於這閉迴路：
:<math>\mathcal{E}= - \int_{\mathbb{S}} \frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\cdot \mathrm{d}\mathbf{a}= - \frac{\mathrm{d}\phi_B}{\mathrm{d}t}</math> ；

其中，<math>\mathbb{S}</math> 是邊緣為閉迴路 <math>\mathbb{C}</math> 的任意曲面，<math>\mathrm{d}\mathbf{a}</math> 是微小面元素向量，<math>\phi_B</math> 是穿過曲面 <math>\mathbb{S}</math> 的[[磁通量]]。

電場沿著閉迴路的[[环量|環流量]]不會等於零，而會等於感生電動勢<ref>{{citation
 | title = Beyond the mechanical universe: from electricity to modern physics
 | author = Richard P. Olenick, Tom M. Apostol and David L. Goodstein
 | publisher = Cambridge University Press
 | year = 1986
 | isbn = 9780521304306
 | page = 245
  }}</ref>：
:<math>\mathcal{E}=\oint_{\mathbb{C}} \mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}</math> ；

其中，<math> \mathbf{E}</math> 是總電場，包括保守性電場 <math> \mathbf{E}_{cs}</math> 和非保守性電場 <math> \mathbf{E}_{ncs}</math> 。

對於這案例，靜電場並不是總電場的維一的貢獻者。靜電場部分是保守的。靜電場部分沿著閉迴路的[[電場]][[环量|環流量]]等於零，只有非保守性電場 <math> \mathbf{E}_{ncs}</math> 會貢獻出感生電動勢：
:<math>\mathcal{E}=\oint_{\mathbb{C}} \mathbf{E}_{ncs}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}</math> ；

這定義可以延伸至任意電動勢源和移動的閉迴路 <math>\mathbb{C}</math><ref name=Cook2>{{citation
 | title = The Theory of the Electromagnetic Field
 | author = David M. Cook
 | publisher = Courier Dover
 | year = 2003
 | isbn = 9780486425672
 | page = 158
 }}
</ref>（在移動於磁場的閉迴路內部會出現[[動生電動勢]] <math> \oint_{\mathbb{C}}\mathbf{v} \times \mathbf{B}\cdot\mathrm{d} \boldsymbol{ \ell }</math> ）：
:<math>\mathcal{E}=\oint_{\mathbb{C}} \mathbf{E}_{emf}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}=\oint_{\mathbb{C}}\left(\mathbf{E}_{ncs}  + \mathbf{v} \times \mathbf{B} \right)\cdot\mathrm{d} \boldsymbol{ \ell } +\frac{1}{q}\oint_{\mathbb{C}}\ \mathbf{f}_c\cdot\mathrm{d} \boldsymbol{ \ell }+\frac{1}{q}\oint_{\mathbb{C}}\ \mathbf{f}_t\cdot\mathrm{d} \boldsymbol{ \ell }</math> ;

其中，<math>\mathbf{f}_c</math> 是有效化學作用力，<math>\mathbf{f}_t</math> 是有效熱作用力，<math>\mathbf{v}</math> 是微小線元素的移動速度。

將[[勞侖茲力方程式]]代入，
:<math>\mathcal{E}=\frac{1}{q}\oint_{\mathbb{C}}\mathbf{f}_{lorentz}\cdot\mathrm{d} \boldsymbol{ \ell } +\frac{1}{q}\oint_{\mathbb{C}}\ \mathbf{f}_c\cdot\mathrm{d} \boldsymbol{ \ell }+\frac{1}{q}\oint_{\mathbb{C}}\ \mathbf{f}_t\cdot\mathrm{d} \boldsymbol{ \ell }</math> ;

其中，<math>\mathbf{f}_{lorentz}=q(\mathbf{E}_{ncs}  + \mathbf{v} \times \mathbf{B})</math> 是[[勞侖茲力]]。

由於很難準確的計算出有效化學作用力和有效熱作用力，這方程式只是一個概念方程式。

==標記與度量單位==
電動勢通常會以希臘字母 <math>\mathcal{E}</math> 標記。

給予一個內部[[电阻|電阻]]為零的元件，假設電荷 <math>Q</math> 由於移動經過元件，獲得能量 <math>W</math> ，則元件的淨電動勢為的獲得的能量每單位電荷 <math>W/Q</math> 。採用[[国际单位制|國際單位制]]，就像其它能量每單位電荷的度量，電動勢的單位是[[伏特]]（{{lang|en|volt}}），等價於[[焦耳]]／[[庫侖]]（{{lang|en|joules per coulomb}}）。

採用[[厘米-克-秒制]]，電動勢的單位是[[靜伏特]]（{{lang|en|statvolt}}），等價於[[爾格]]／[[靜庫侖]]（{{lang|en|erg per statcoulomb}}）<ref>
{{citation
 | title = Basic Electricity
 | author = Van Valkenburgh
 | publisher = Cengage Learning
 | year = 1995
 | isbn = 9780790610412
 | page = 1–46
 }}</ref>。

== 电动势和路端电压的关系 ==
理想電動勢源不具有任何[[內阻]]，放電與充電不會浪費任何電能。理想電動勢源給出的電動勢與其路端電壓相等。

在实际应用中，電動勢源不可避免地有一定的[[内阻]]。實際電動勢源的電阻可以視為一個理想電動勢源串聯一個電阻為内阻的電阻器。內阻的大小取決於電動勢源的大小、化學性質、使用時間、溫度和負載電流。

在通電的閉电路中，内阻相当於一个[[负载]]，并且消耗电能。
*放電电路：在放电电路中，二者关系为 <math>\mathcal{E}= V + Ir</math> ，其中 <math>V</math> 表示電路端电压，<math>I</math> 表示回路电流，<math>r</math> 表示内阻。
*充电电路：在充电电路中，二者关系为 <math>\mathcal{E}= V - Ir</math> ，其中 <math>V</math> 表示外加充电电源提供给被充电电源两端的电压。

在一個呈開電路狀態的電動勢源內部，由於電流為零，電動勢與路端電壓相等。

==電動勢源元件==
能夠供應電動勢的元件有很多種，例如，[[電化電池]]、[[太陽能電池]]、[[燃料電池]]、[[熱電效應|熱電裝置]]、[[發電機]]等等<ref name=Lerner>
{{citation
 | title=Physics for scientists and engineers
 | author=Lawrence M Lerner
 | url=http://books.google.com/books?id=Nv5GAyAdijoC&pg=PA727
 | publisher=Jones & Bartlett Publishers
 | isbn=0763704601
 | page=724–727
 | year=1997}}</ref>。

電池靠著位於[[電極]]的化學反應來產生電動勢。這些化學反應分離正負電荷至電池的兩端點，從而造成電勢差。[[伏打電堆|伏打電池]]是大多數電池的原型。伏打電池可以試想為，在每一個電極，都裝有一個[[原子]]尺寸的電荷[[泵]]；也就是說<ref name=Singh>{{citation |title= Basic Physics |page=152 |chapter=§3.16 EMF of a source
|isbn=8120337085 |author=Kongbam Chandramani Singh |publisher=Prentice Hall India Pvt Ltd |year=2009 }}</ref>，

{{Quotation|試想電動勢源為一種電荷泵；它能將正電荷，從低電勢端，經過其本身，移動到高電勢端.....使用化學，機械或其它機制，電動勢源將這正電荷 <math>\mathrm{d}q</math> 移至高電勢端，所做出的功是 <math>\mathrm{d}W</math> 。電動勢源的電動勢 <math>\mathcal{E}</math> 定義為其所做的功每單位電荷 <math>\mathcal{E}=\mathrm{d}W/\mathrm{d}q</math>}}

在[[發電機]]裏，電動勢的運作所遵守的主要原理是[[法拉第感應定律]]。含時磁場通過[[電磁感應]]產生電動勢，而這電動勢造成了發電機兩端的電荷分離和電勢差。電荷從一個端點移動到另外一個端點，直到兩端的分離電荷所產生的電場能夠阻止更多的電荷分離。電動勢與電荷分離產生的電勢差相互抗衡。假設在發電機兩端連結一個[[負載]]，則電動勢會驅使電流流過負載。

[[太陽能電池]]或[[光電二極體]]是另外一種電動勢源；太陽能電池使用光能為外來能源,
可以將光能變為電能，是大面積的光電二極體。

[[燃料電池]]是一種使用燃料進行化學反應產生電力的裝置。最常見的是一種以[[氫氧]]為燃料的[[質子交換膜燃料電池]]，由於燃料價格平宜，加上對人體無化學危險、對環境無害，發電後產生純水和熱，在商業與工業方面有相當廣泛的用途。

==電動勢生成機制==
===電化電池===
{{Main|電化電池}}
[[File:Reaction path.JPG|thumb|300px|通常的反應途徑會要求初始反應物越過一個能量障壁，進入中間態，最後出現於一個較低能量的狀態。假若涉及到電荷分離，這能量差可能會造成電動勢。更詳細論述，請參閱條目[[過渡狀態]]<ref name=Bergmann>
{{cite book |title=Constituents of Matter: Atoms, Molecules, Nuclei, and Particles |author =Nikolaus Risch |chapter=Molecules - bonds and reactions |editor=L Bergmann ''et al.'' |isbn=0849312027  |year=2002 |publisher=CRC Press }}</ref>。]] 

[[File:Electrochemical element with salt bridge.png|thumb|300px|使用KNO<sub>3</sub>玻璃管型[[鹽橋]]的電化電池。]]
在十九世紀的一大段時間，許多科學家都致力於尋找[[電池]]（[[伽凡尼電池]]）產生電動勢的機制。最終，[[瓦爾特·能斯特]]發現電動勢的作用點是處於[[電極]]與[[電解質]]之間的接觸面<ref name=cajori>{{cite book
 | title = A History of Physics in Its Elementary Branches: Including the Evolution of Physical Laboratories
 | author = Florian Cajori
 | publisher = The Macmillan Company
 | year = 1899
 | pages = 218–219
 | url = http://books.google.com/?id=ICASAAAAYAAJ&pg=PA219&dq=%22seat+of%22+%22electromotive+force%22
 }}</ref>。

[[分子]]是一群原子靠著[[化學鍵]]連接在一起而形成。這些化學鍵是電子與[[質子]]之間相互吸引的[[電場力]]。孤立的分子是穩定實體；但當將不同的分子集聚在一起時，有些種類的分子能夠偷取其它分子的電子，造成電荷分離。這種電荷重新分佈會改變整個系統的能量，以及分子內部原子的重新組態<ref name=reconfigure>在這本書內，讀者可以找到大量關於有機電化學的論述：{{cite book |title=Organic electrochemistry |edition=4 |year=2000 |publisher=CRC Press |isbn=0824704304 |editor=Henning Lund, Ole Hammerich|author=Christian Amatore |chapter=Basic concepts}}</ref>。

[[氧化反應]]是[[化合價]]升高，失去電子的反應；[[還原反應]]是化合價降低，獲得電子的反應。發生這種電子交換事件的反應稱為[[氧化還原反應]]。在電池裏，[[陽極]]是發生氧化反應的[[電極]]（或者失去電子的電極）；而[[陰極]]則是發生還原反應的電極（或者獲得電子的電極）。這同樣的物理行為可以從原子本身觀察出來。原子偷取電子的能力稱為[[電負性]]<ref name=electronegativity>電負性的點子，經過延伸後，已經囊括了「電負性等化」的概念，即當分子集聚在一起時，其電子會重新排列，以達到不會感受到任何淨力的平衡狀態。請參閱書籍{{cite book |title=Advanced organic chemistry |author= Francis A. Carey, Richard J. Sundberg |isbn=0387683461 |edition=5 |year=2007 |publisher=Springer |page=11 }} </ref> 

舉例而言，在[[丹尼耳電池]]裏，[[鋅]]陽極的鋅原子會溶解於[[硫酸鋅]]溶液，溶解的鋅原子會遺留其電子於陽極，根據氧化反應（''s'' = 固體陽極，''aq'' = 水溶液）：
:<math>\mathrm{Zn}(s) \rightarrow \mathrm{Zn}^{2+}(aq) + 2  \mathrm{e} ^-</math> 。

硫酸鋅是一種[[電解質]]，在溶液內有可以導電的[[離子]]，鋅離子 <math>\mathrm{Zn}_{} ^{2+}</math> 與硫酸根離子 <math>\mathrm{SO}_4^{2-}</math> 。

在丹尼爾電池的[[銅]]陰極區域，根據還原反應，硫酸銅電解質的銅離子會從陰極獲得電子：
:<math> \mathrm{Cu}^{2+}(aq) + 2 e^- \rightarrow \mathrm{Cu}(s)</math> 。

被中性化的銅原子會[[電鍍]]在銅陰極表面<ref name=Conway>這本書籍詳細論述電極與電解質的離子之間電子傳輸的微觀過程：
{{cite book |title=Electrochemical supercapacitors |author=BE Conway |chapter=Energy factors in relation to electrode potential |page=37 |url=http://books.google.com/?id=8yvzlr9TqI0C&pg=PA37 |isbn=0306457369 |year=1999 |publisher=Springer}}</ref>。

電子會通過外電路（示意圖內的[[檢流計]]），而硫酸根離子會通過[[鹽橋]]，這樣，可以保持電荷平衡。當反應進行時，鋅陽極會緩慢的溶解，而銅陰極表面會被電鍍。假若外電路被斷開，由於電荷分離產生的電場會抗拒兩個電極之間的電動勢，反應會停止。

===熱力學電動勢===<!--link 鋅銅電池-->
在[[热力学|熱力學]]裏，電動勢 <math>\mathcal{E}</math> 乘以電荷量 <math>Z</math> ，就是分離電荷所做的[[功]]項目。對於[[可逆過程]]，當電動勢促使電荷在[[電池]]內移動時，[[内能|內能]]的變化包括這項目：
: <math>\mathrm{d}U = T\mathrm{d}S - P\mathrm{d}V+ \mathcal{E}\mathrm{d}Z</math> ；

其中，<math>U</math> 是[[内能|內能]]，<math>S</math> 是[[熵]]，<math>T</math> 是[[热力学温标|絕對溫度]]，<math>V</math> 是體積，<math>P</math> 是[[壓強]]。

假設電池為[[鋅銅電池|丹尼耳電池]]，由於在這種電池內進行的反應不會產生氣體，系統體積不變，方程式簡化為
: <math>\mathrm{d}U = T\mathrm{d}S + \mathcal{E}\mathrm{d}Z</math> 。

讓熵 <math>S</math> 為 <math>T</math> 和 <math>Z</math> 的函數，熵的全微分為
: <math>\mathrm{d}S =\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_Z \mathrm{d}T+ \left(\frac{\partial S}{\partial Z}\right)_T \mathrm{d}Z</math> 。

假設[[等溫過程]]，那麼，方程式右手邊的第一個項目等於零：
: <math>\mathrm{d}S = \left(\frac{\partial S}{\partial Z}\right)_T \mathrm{d}Z</math> 。

將這方程式帶入內能的方程式：
: <math>\mathrm{d}U =\left\{\mathcal{E}+T\left(\frac{\partial S}{\partial Z}\right)_T \right\}\mathrm{d}Z</math> 。

這方程式右手邊的第二個項目是「充電熱」（{{lang|en|heat of charging}}），定義為在一個等溫可逆的充電過程，系統的熱能吸收率 <math>C_T^{(Z)}</math> ：
: <math>C_T^{(Z)}\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\mathrm{d}Q_T}{\mathrm{d}Z}=T\left(\frac{\partial S}{\partial Z}\right)_T</math> 。

吸收率 <math>C_T^{(Z)}</math> 比較不容易計算，可以找更有用的變數替換。思考[[亥姆霍茲自由能]] <math>F</math> ：
: <math>\mathrm{d}F = \mathrm{d}U - \mathrm{d}(TS)= - S\mathrm{d}T + \mathcal{E}\mathrm{d}Z</math> 。

所以，<math>(\mathcal{E},\ Z)</math> 是一對[[共軛變量]]（{{lang|en|Conjugate variables}}）。其[[麦克斯韦关系式|馬克士威關係式]]為：
:<math>\left(\frac{\partial \mathcal{E}}{\partial T}\right)_Z=
 - \left(\frac{\partial S}{\partial Z}\right)_T</math> 。

帶入內能的方程式：
: <math>\mathrm{d}U =\left\{\mathcal{E} - T\left(\frac{\partial \mathcal{E}}{\partial T}\right)_Z \right\}\mathrm{d}Z</math> 。

通常，電動勢跟溫度 <math>T</math> 、電荷量 <math>Z</math> 有關。假若，能夠使丹尼耳電池內的溶液保持飽和狀態，有很多離子化合物隨時準備分解進入溶液，則電動勢跟電荷量無關，只跟溫度有關：
: <math>\mathrm{d}U =\left(\mathcal{E} - T\frac{\mathrm{d} \mathcal{E}}{\mathrm{d} T}\right) \mathrm{d}Z</math> 。

對於丹尼耳電池，體積不變，假設[[等压过程|等壓過程]]，則[[焓]]的改變 <math>\Delta H</math> ，稱為「反應熱」，等於內能的改變：
: <math>\Delta H=\Delta(U+PV)=\Delta U</math> 。

使得一[[摩尔|莫耳]]的[[金属|金屬]][[原子]]進入溶液所需要的電荷量為
:<math> \Delta Z = zN_A e</math> ；

其中，<math>z</math> 是金屬[[离子|離子]]的電價，<math>N_A</math> 是[[阿伏伽德罗常数|亞佛加厥常數]]，<math>e</math> 是[[基本電荷]]量。

假設恆壓、恆體積，則電池的熱力學性質與電動勢的緊密關係，以方程式表達為
:<math>\Delta H = zN_A e \left( \mathcal{E} - T \frac {d\mathcal{E}}{\mathrm{d}T}\right)</math> 。

這樣，只要得到電動勢與溫度之間關係的資料，從測量電動勢和溫度的數據，很容易就能夠準確地計算出某化學反應的反應熱<ref name= Finn>{{cite book |title=Thermal Physics |author=Colin B P  Finn |page=163 |isbn=0748743790 |year=1992 |publisher=CRC Press}}
</ref>。

===動生電動勢===<!--link 勞侖茲力-->
[[File:Moving_Conductor_In_Magnetic_Field.jpg|right|thumb|250px|一條長度為 <math>L</math> 的細直導線以速度 <math>\mathbf{v}</math> 移動於磁場 <math>\mathbf{B}</math> 。]]
許多[[發電機]]的基本運作原理涉及動生電動勢概念。移動於磁場的導線，其內部會出現電動勢，稱為「動生電動勢」。如圖右所示<ref name=Chow>{{citation|author=Tai L. Chow|title=Electromagnetic theory|year= 2006
|page =pp. 172-175|publisher=Jones and Bartlett|location=Sudbury MA|isbn=0-7637-3827-1}}</ref>，假設一條長度為 <math>L</math> 的細直導線，以速度 <math>\mathbf{v}</math> 移動於磁場 <math>\mathbf{B}</math> 。磁場 <math>\mathbf{B}</math> 以箭尾或叉叉表示。思考在這導線內的電荷 <math>q</math> ，根據[[洛伦兹力|勞侖茲力定律]]，會感受到[[洛伦兹力|勞侖茲力]] <math>\mathbf{F}_{lorentz}</math> ：
:<math>\mathbf{F}_{lorentz} =q\mathbf{v}\times\mathbf{B}</math> 。

在這裡，勞侖茲力也是[[磁|磁場力]]。因為感受到這磁場力，正電荷會往導線的上端移動，負電荷會往導線的下端移動。在穩定平衡狀態，這動作會形成一個電場 <math>\mathbf{E}</math> ：
:<math>\mathbf{E} = - \mathbf{v}\times\mathbf{B}</math> 。

如同先前方程式（1）的定義，電動勢定義為，遷移正電荷於導線路徑 <math>\mathbb{L}</math> ，從負端點到正端點，抗拒電場 <math> \mathbf{E}</math> 所做的功每單位電荷，以方程式表示為
:<math>\mathcal{E} =-\int_\mathbb{L}  \mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}=\int_L  \frac{\mathbf{F_{lorentz}}}{q}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} =vBL</math> 。

對於這案例，假若達到穩定平衡狀態，則電流等於零。假設載流導線與其他元件連結成閉電路，則會因為動生電動勢而產生電流。例如，將一個[[电阻|電阻]] <math>R</math> 與導線的兩端相連結，則流過電阻的電流 <math>I</math> 為
:<math>I=\mathcal{E}/R==vBL/R</math> 。

===法拉第感應定律導引===
[[File:Vector_field_on_a_surface02.png|right|thumb|250px|在時間 <math>t</math> ，以閉迴路 <math>\partial\Sigma(t)</math> 為邊緣的曲面 <math>\Sigma(t)</math> ，和在此曲面 <math>\Sigma(t)</math> 某些位置的磁場 <math>\mathbf{B}(\mathbf{r},\,t)</math> 。]]
[[File:Faraday_Area.PNG|right|thumb|250px|一個以常速度 <math>\mathbf{v}</math> 移動於磁場 <math>\mathbf{B}(\mathbf{r},\,t)</math> 的閉迴路 <math>\partial\Sigma(t)</math> 。]]
{{main|法拉第感應定律}}

法拉第感應定律指出，穿過任意曲面的[[磁通量]]變化率，與圍住這任意曲面的閉迴路所出現的電動勢，兩者之間的關係為：
:<math>\mathcal{E}= - \frac{\mathrm{d}\Phi_B}{\mathrm{d}t}</math> ；

其中，<math>\mathcal{E}</math> 是電動勢，<math>\Phi_B</math> 是磁通量，<math>t</math> 是時間。

在時間 <math>t</math> 穿過任意曲面 <math>\Sigma(t)</math> 的磁通量 <math>\Phi_B(t)</math> 定義為
:<math>\Phi_B(t)\ \stackrel{def}{=}\ \int_{\Sigma(t)} \mathbf{B}(\mathbf{r},\,t)\cdot \mathrm{d}\mathbf{a}</math> ；

其中，<math>\mathbf{r}</math> 是場位置，<math>\mathrm{d}\mathbf{a}</math> 是微小面元素。

法拉第感應定律的方程式，以積分形式表示為
:<math>\mathcal{E}= - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_{\Sigma(t)} \mathbf{B}(\mathbf{r},\,t)\cdot \mathrm{d}\mathbf{a}</math> 。

法拉第感應定律表明了磁通量與電動勢之間的關係。本段落會應用一些向量微積分的方法與工具，從這定律的積分形式推導出微分形式。

假設圍住任意曲面 <math>\Sigma(t)</math> 的閉迴路 <math>\partial\Sigma(t)</math> 以常速度 <math>\mathbf{v}</math> 移動於磁場。那麼，磁通量對於時間的[[全微分]]是<ref>{{citation |last= Flanders|first= Harley|authorlink= |coauthors= |title= Differentiation under the integral sign|journal= American Mathematical Monthly|volume= 80|issue= 6|pages= 615–627|id= |url= |accessdate= |quote=|doi= 10.2307/2319163 |date=Jun–Jul 1973}}</ref>

:<math>\begin{align}
\mathrm{d}\Phi_B(t) & =\int_{\Sigma(t+\mathrm{d}t)} \mathbf{B}(\mathbf{r},\,t+\mathrm{d}t) \cdot \mathrm{d}\mathbf{a} - \int_{\Sigma(t)} \mathbf{B}(\mathbf{r},\,t)\cdot \mathrm{d}\mathbf{a} \\
 & =\int_{\Sigma(t+\mathrm{d}t)} \mathbf{B}(\mathbf{r},\,t) \cdot \mathrm{d}\mathbf{a} 
+\int_{\Sigma(t+\mathrm{d}t)} \frac{\partial \mathbf{B}(\mathbf{r},\,t) }{\partial t} \mathrm{d}t \cdot \mathrm{d}\mathbf{a}
- \int_{\Sigma(t)} \mathbf{B}(\mathbf{r},\,t)\cdot \mathrm{d}\mathbf{a} \\
 & =\int_{\Sigma(t+\mathrm{d}t)} \frac{\partial \mathbf{B}(\mathbf{r},\,t) }{\partial t} \mathrm{d}t \cdot \mathrm{d}\mathbf{a} +\int_{\Sigma_{total}} \mathbf{B}(\mathbf{r},\,t) \cdot \mathrm{d}\mathbf{a} 
- \int_{\Sigma_{ribbon}} \mathbf{B}(\mathbf{r},\,t)\cdot \mathrm{d}\mathbf{a} \\
\end{align}</math> <span style="vertical-align:bottom">；</span>

其中，<math>\Sigma(t)</math> 是邊緣為 <math>\partial\Sigma(t)</math> 的曲面，<math>\Sigma_{total}</math> 是包括 <math>\Sigma(t+\mathrm{d}t)</math> 、<math> - \Sigma(t)</math> 和 <math>\Sigma_{ribbon}</math> 的閉曲面，<math>\Sigma_{ribbon}</math> 是邊緣 <math>\partial\Sigma(t+\mathrm{d}t)</math> 和 <math>\partial\Sigma(t)</math> 形成的邊緣曲面。

根據[[高斯散度定理|散度定理]]和[[高斯磁定律]]，
:<math>\int_{\Sigma_{total}} \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\mathbf{a}=\int_{\mathbb{V}_{total}} \nabla\cdot\mathbf{B}\  \mathrm{d}r^3=0</math> ；

其中，<math>\mathbb{V}_{total}</math> 是閉曲面 <math>\Sigma_{total}</math> 包含的空間，<math>\mathrm{d}r^3</math> 是微小體積元素。

以線積分表示來表示穿過邊緣曲面 <math>\Sigma_{ribbon}</math> 的磁通量：
:<math>\int_{\Sigma_{ribbon}} \mathbf{B}\cdot \mathrm{d}\mathbf{a} 
=\int_{\partial\Sigma(t)}\mathbf{B}\cdot[\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\times(\mathbf{v}\mathrm{d}t)]
=\int_{\partial\Sigma(t)}[(\mathbf{v}\mathrm{d}t)\times\mathbf{B}]\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}</math> 。

所以，磁通量對於時間的全導數，或磁通量的變化率為
:<math>\frac{\mathrm{d}\Phi_B(t)}{\mathrm{d}t}=\int_{\Sigma(t)} \frac{\partial \mathbf{B}(\mathbf{r},\,t) }{\partial t} \cdot \mathrm{d}\mathbf{a} - \int_{\partial\Sigma(t)}  \mathbf{v}\times\mathbf{B}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}</math> 。 
假設，在以常速度 <math>\mathbf{v}</math> 移動於實驗室參考系的閉迴路 <math>\partial\Sigma</math> 內部，有一個電荷 <math>q</math> 以相對速度 <math>\mathbf{u}</math> 運動於閉迴路 <math>\partial\Sigma(t)</math> ，則電荷以相對速度 <math>\mathbf{w}</math> 運動於實驗室參考系：
:<math>\mathbf{w}=\mathbf{u}+\mathbf{v}</math> 。

注意到 <math>\mathbf{u}\times\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}=0</math> ，所以，
:<math>\frac{\mathrm{d}\Phi_B(t)}{\mathrm{d}t}=\int_{\Sigma(t)} \frac{\partial \mathbf{B}(\mathbf{r},\,t) }{\partial t} \cdot \mathrm{d}\mathbf{a} - \int_{\partial\Sigma(t)}  \mathbf{w}\times\mathbf{B}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}</math> 。

這電荷 <math>q</math> 會感受到[[勞侖茲力]]
:<math>\mathbf{F}_{Lorentz}=q(\mathbf{E} +\mathbf{w}\times\mathbf{B})</math> 。

電動勢 <math>\mathcal{E}</math> 定義為
:<math>\mathcal{E}\ \stackrel{def}{=}\ \int_{\partial\Sigma(t)}\frac{\mathbf{F}_{Lorentz}}{q}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}=\int_{\partial\Sigma(t)}(\mathbf{E} +\mathbf{w}\times\mathbf{B})\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}</math> 。

應用[[斯托克斯定理]]，
:<math>\mathcal{E}=\int_{\Sigma(t)}(\nabla\times\mathbf{E})\cdot \mathrm{d}\mathbf{a}+\int_{\partial\Sigma(t)}(\mathbf{w}\times\mathbf{B})\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}</math> 。

從法拉第感應定律方程式的積分形式，除去相同的線積分項目，即動生電動勢項目，令剩下的感生電動勢項目相等，可以得到
:<math>\int_{\Sigma(t)}(\nabla\times\mathbf{E})\cdot \mathrm{d}\mathbf{a}=-\int_{\Sigma(t)} \frac{\partial \mathbf{B}(\mathbf{r},\,t) }{\partial t} \cdot \mathrm{d}\mathbf{a}</math> 。

由於 <math>\Sigma(t)</math> 是任意曲面，可以將被積式從積分中取出：
:<math>\nabla\times\mathbf{E}= - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}</math> 。

這就是法拉第感應定律方程式的微分形式，即[[馬克士威-法拉第方程式]]。反之，也可以從微分形式推導出積分形式。

不論磁場是不含時的或含時的，不論閉迴路是剛硬固定的、是在運動中、是在[[形變]]過程中，法拉第感應定律都成立。但是，對於某些案例，法拉第感應定律並不適用或使用起來很困難。這時候，必須使用勞侖茲力定律。詳盡細節，請參閱[[法拉第弔詭#法拉第感應定律不適用案例|法拉第感應定律不適用案例]]。

假設閉迴路移動於不含時磁場 <math>\mathbf{B}</math> ，穿過閉迴路的磁通量 <math>\Phi_B</math> 會因為幾種因素而改變：例如，假若磁場 <math>\mathbf{B}</math> 隨著位置改變，閉迴路移動至不同磁場 <math>\mathbf{B}</math> 的位置，則磁通量 <math>\Phi_B</math> 會改變。或者，假若相對於磁場，閉迴路的[[定向 (幾何)|定向]]改變，由於微小元素 <math>\mathbf{B}\cdot \mathrm{d}\mathbf{a}</math> 的改變，磁通量 <math>\Phi_B</math> 也會改變。再舉一個例子，假若閉迴路掃掠過一個均勻的不含時磁場，由於閉迴路的形變，磁通量 <math>\Phi_B</math> 會改變。對於這三個案例，法拉第感應定律會正確地計算出磁通量變化率 <math>\frac{d \Phi_B}{\mathrm{d}t}</math> 所產生的電動勢。

對比前面所述狀況，假設固定的閉迴路處於含時磁場 <math>\mathbf{B}</math> ，馬克士威-法拉第方程式會顯示出一個非保守性的電場 <math>\mathbf{E}</math> 產生於閉迴路，靠著勞侖茲力的 <math>q\mathbf{E}</math> 項目，驅使帶電粒子移動於閉迴路。這狀況也會改變磁通量 <math>\Phi_B</math> ，法拉第感應定律會正確地計算出磁通量變化率 <math>\frac{d \Phi_B}{\mathrm{d}t}</math> 所產生的電動勢。

==參閱==
*[[伽凡尼電池|伽伐尼電池]]
*[[伏打電堆]]
*[[法拉第弔詭]]
*[[磁动势]]

==參考文獻==
{{reflist|2}}

{{Authority control}}
{{DEFAULTSORT:D}}
{{电磁学}}
[[Category:电力学]]
[[Category:电路]]
[[Category:电动力学]]
[[Category:電壓]]