查看“電子磁偶極矩”的源代码

{{noteTA
|G1=Physics
}}
'''電子磁偶極矩''' 是在[[原子物理學]]中由[[電子]]自身[[自旋]]特性所引起的電子的[[磁矩]] 。電子磁偶極矩的值為−9284.764 × 10<sup>−27</sup> J.T<sup>-1</sup>。最近量測到的電子磁偶極矩的精確度為7.6×10<sup>-13</sup><ref>B Odom et al. 2006 Phys. Rev. Lett. 97 030801.</ref>

==單一電子磁矩==

電子是帶 (&minus;1''e'') 的 [[帶電粒子]] ，單位為[[基本電荷]]，他的[[角動量]]來自兩種方向，[[自旋]]和[[軌道]]方向。從[[經典電磁學]]中知，[[電荷]]會產生[[磁偶極矩]]，並產生[[磁鐵|磁極]]，而兩端產生的[[magnetic polarity|磁極性]]機率是一樣的。這個電子就有如一個[[磁鐵]]一樣。其中一個結果是當外加一個[[磁場]]時，而產生一個[[磁矩|轉矩]]，[[磁矩]]方向是依據場的方向。

如果電子被視為一個古典的帶電粒子，透過轉動可知[[角動量]]'''L'''，和磁偶極矩'''μ''' 得下式:

:<math>\boldsymbol{\mu} = \frac{-e}{2m_e}\, \mathbf{L}.</math>

''m<sub>e</sub>''代表的是[[電子]]的[[不變質量]]，請注意[[角動量]]'''L'''在此可以是自旋角動量，軌道角動量，或是總角動量。古典自旋磁矩的結果受比例因子的影響，因此，古典的結果需要乘上一個[[無量綱量]]的 [[g因子]]進行校正。

:<math>\boldsymbol{\mu} = g \frac{-e}{2m_e} \mathbf{L}.</math>

這個磁矩通常會以[[約化普朗克常數]] ''ħ''和 [[波耳磁元]]''μ<sub>B</sub>''來表示:

:<math>\boldsymbol{\mu} = -g \mu_B \frac{\mathbf{L}}{\hbar}.</math>

由於[[波耳磁元|量化磁矩]]的單位為''μ<sub>B</sub>''，相對應的[[角量子數]]的單位為''ħ''。

===旋轉磁偶極矩===

[[自旋]][[磁矩]]是電子固有存在的<ref>A. Mahajan and A. Rangwala.  [http://books.google.com/books?id=_tXrjggX7WwC&pg=PA419&lpg=PA419&dq=%22intrinsic+dipole+moment%22+and+electron+%22Bohr+magneton%22&source=web&ots=87QUlLPdmD&sig=cmYr28QQJM75lI_ih4sS9UjGRE0 Electricity and Magnetism], p. 419 (1989).  Via Google Books.</ref>

:<math> \boldsymbol{\mu}_S=- g_S \mu_B \frac{\mathbf{S}}{\hbar}.</math>

這裡的'''S'''代表的是電子的自旋角動量。自旋的 [[g因子]]接近2: ''g<sub>s</sub>'' ≈ 2。在古典的機制中，電子的磁矩約兩次。兩次的意義代表著電子似乎是2的倍數，可利用磁矩推論出古典電學下正確的帶電體。自旋的磁偶極矩約為一個''μ<sub>B</sub>''，因為''g'' ≈ 2而電子自旋為二分之一粒子，而 ''S'' = ''ħ''/2。

:<math>\mu_S\approx 2\frac{e}{2m_e}\frac{\hbar}{2}=\mu_B.</math>

電子磁矩的''z''部分為:

:<math>(\boldsymbol{\mu}_S)_z=-g_S \mu_B m_S</math>

其中''m<sub>S</sub>'' 是[[自旋|自旋量子數]]。要注意該'''μ'''為一''負''常數乘上[[自旋]]，所以磁矩和自旋角動量是[[平行|反平行]]的。

自旋[[g因子]]''g<sub>s</sub>'' = 2 計算來自[[狄拉克方程式]]是電子的自旋，為其電磁特性的基本公式。在磁場中的電子狄拉克方程式還原至其非相對論並限制修正項，再考慮電子固有的磁矩並在正確的能量和磁場下相互作用產生薛定諤方程。

對電子自旋而言，目前最準確的實驗量測[[g因子]]為：

2.00231930419922 ± (1.5 × 10<sup>−12</sup>).<ref>http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?eqae|search_for=electron+magnetic+moment</ref>

要注意的是，只有高於千分之二的值是得自於狄拉克方程，千分之二以下的修正值則是源自於電子的[[磁偶極矩|異常磁偶極矩]]：這個修正是由電子和虛光子(virtual photons)之間的[[量子電動力學]]交互作用所產生。事實上，對電子的[[g因子]]精準預測，可以說是[[量子電動力學]]的偉大成就之一。目前電子磁矩最準確的值為：

-928.476377 × 10<sup>−26</sup> ± 0.000023 × 10<sup>−26</sup> J·T<sup>−1</sup>.<ref>http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?muem|search_for=magnetic+moment+electron</ref>

===g值的古典理論===

狄拉克的理論對於電子中求g值是沒有必要的。電子g值的偏差可以用質量分布解釋，電子內部的電荷分佈是不同的。電子仍可以視為一個剛性體。
例如假設最簡單的高斯球分佈下的電荷質量差別:
:<math>\rho_e(r)=e N_e e^{-r^2/r_e^2}</math>
和
:<math>\rho_m(r)=m_e N_m e^{-r^2/r_m^2}</math>
其中
<math>r_m</math>是質量半徑的電子和<math>r_e</math>則是可以調整g值參數和比率的電荷半徑。
:<math>g=\left ( \frac{r_e}{r_m} \right )^8</math>.
對於電子來說<math>g=2</math>之間的差距是很小的意即
:<math>\left ( \frac{r_e}{r_m} \right )\approx 1.09051</math>。

===軌道磁偶極矩===

電子轉到另一軸上，產生軌道的磁偶極矩。先假設軌道運動的角動量為'''L'''。然後軌道上的磁偶極矩為

:<math>\boldsymbol{\mu}_L = -g_L\mu_B \frac{\mathbf{L}}{\hbar}.</math>

而在這''g<sub>L</sub>''是電子軌道的[[g因子]]而''μ<sub>B</sub>''是[[波耳磁元]]。而''g<sub>L</sub>''的價值是在於一體性，以量子力學的說法是類似[[旋磁比]]。

===總磁偶極矩===

電子產生一個由自旋磁偶極矩和軌道磁偶極矩有關的的總角動量，產生一名為'''J'''的公式

:<math> \boldsymbol{\mu}_J =g_J \mu_B \frac{\mathbf{J}}{\hbar}.</math>

[[g-factor (physics)|g值]] ''g<sub>J</sub>''是著名的[[朗德g因子]]，和''g<sub>L</sub>'' 即 ''g<sub>S</sub>'' 有關的相關內容請看[[朗德g因子]]。

==實例: 氫原子==
對於[[氫]]原子，其[[原子軌域]]被[[電子]]佔據，Ψ''<sub>n, ℓ, m</sub>''，而磁偶極矩的算法如下:

:<math>\mu_L=-g_L\frac{\mu_B}{\hbar}\langle\Psi_{n,\ell,m}|L|\Psi_{n,\ell,m}\rangle=-\mu_B\sqrt{\ell(\ell+1)}.</math>

在此的 '''L'''是軌道[[角動量]]''n, ℓ'' 及 ''m''則是[[主量子數]]、[[角量子數]]和[[磁量子數]]。用[[磁量子數]] ''m<sub>ℓ</sub>''配合電子軌道的磁偶極矩用z分量算出下式:

:<math> (\mathbf{\mu_L})_z=-\mu_B m_\ell.\,</math>

==包利和狄拉克理論的電子自旋==

{{main|包立方程式|狄拉克方程式}}

開始使用半整數的[[自旋]]要追溯到[[斯特恩－革拉赫實驗]]。發現一原子束穿過非均勻磁場，會受到角動量而分成N個部分。在[[銀]]原子做一樣實驗時，光束會分成兩個基態，而無法而合為一，在內在角動能盡可能小的狀態下，到約等於1，光束會分割成3部分，相對應的原子''L<sub>z</sub>'' = −1, 0, 和 +1。最後得出結論銀原子的淨角動量為{{frac|1|2}}。[[沃爾夫岡·包立]]使用雙組分的波函數和[[哈密頓算符]]配合{{le|半古典|First quantization]]和[[歸一條件]]寫出的理論。算式如下:

:<math>H = \frac{1}{2m} \left [ \boldsymbol{\sigma}\cdot \left ( \mathbf{p} - \frac{e}{c}\mathbf{A} \right ) \right ]^2 + e\phi.</math>

在此'''A'''做為[[磁矢势]]而''ϕ''做為[[電勢]]呈現出[[電磁場]]，而'''σ''' = (''σ<sub>x</sub>'', ''σ<sub>y</sub>'', ''σ<sub>z</sub>'')則代表[[包立矩陣]]。平方算式的第一項代表磁場交互作用的發現，而古典的哈密頓是在表示帶電粒子的相互作用:

:<math>H = \frac{1}{2m}\left ( \mathbf{p} - \frac{e}{c}\mathbf{A} \right )^2 + e\phi - \frac{e\hbar}{2mc}\boldsymbol{\sigma}\cdot \mathbf{B}.</math>

而這哈密頓現為一2X2矩陣，因此必須建立在薛定諤方程上用一種雙組分的波函數。包利已經已經使用sigma矩陣做為純粹的現象(''phenomenology'')，而後狄拉克有一''理論上的說法''，指出[[自旋]]的結果透過[[狹義相對論|相對論]]套入[[量子力學]]中。在導入[[電磁四維勢]]到狄拉克方程式中的方式，被稱為{{le|最小耦合|Minimal coupling]]而產生([[自然單位制]]''ħ'' = ''c'' = 1)

:<math>\left [ -i\gamma^\mu\left ( \partial_\mu + ieA_\mu \right ) + m \right ] \psi = 0\,</math>

在此<math>\scriptstyle \gamma^\mu</math>被稱為[[狄拉克矩陣]]，而''i''是[[虛數單位]]。第二個[[狄拉克方程式]]的運用，和包利的術語和用法完全一樣，因為空間中的狄拉克矩陣乘上''i''，和包利矩陣有相同的平方運算和特性。更重要的是，電子的[[旋磁比]]是在包利之前解釋第一原理的理論。狄拉克方程的成功和正確性帶給了物理學家極大的信心。以下的狄拉克方程在低能條件下可視為包利理論:

:<math>\begin{pmatrix}
(mc^2 - E + e \phi) & c\sigma\cdot \left (\mathbf{p} - \frac{e}{c}\mathbf{A} \right ) \\ -c\boldsymbol{\sigma}\cdot \left ( \mathbf{p} - \frac{e}{c}\mathbf{A} \right ) & \left ( mc^2 + E - e \phi \right ) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \psi_+ \\ \psi_- \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}. </math>

所以

:<math> (E - e\phi) \psi_+ - c\boldsymbol{\sigma}\cdot \left( \mathbf{p} - \frac{e}{c}\mathbf{A} \right) \psi_{-} = mc^2 \psi_+</math>
:<math>-(E - e\phi) \psi_{-} + c\boldsymbol{\sigma}\cdot \left( \mathbf{p} - \frac{e}{c}\mathbf{A} \right) \psi_+ = mc^2 \psi_{-} </math>

假設弱磁場下和電子做非相對論運動，電子的總能大約等於[[不變質量|靜止能量]]:

:<math>E - e\phi \approx mc^2</math>
:<math>p \approx m v</math>

也就能推出第二方程

:<math>\psi_- \approx  \frac{1}{2mc}  \boldsymbol{\sigma}\cdot \left ( \mathbf{p} - \frac{e}{c}\mathbf{A} \right ) \psi_+</math>

為了''v/c'' 因此在典型的能量和速度上，[[狄拉克旋量]]表示，將這個表達式代入第一方程重排後。

:<math> ( E - mc^2 ) \psi_+ = \frac{1}{2m} \left [ \boldsymbol{\sigma}\cdot \left ( \mathbf{p} - \frac{e}{c}\mathbf{A} \right ) \right ]^2 \psi_+ + e\phi \psi_+</math>

運算式代表粒子的能量，降低其靜止能量，但僅是古典能量，所以我們恢復包利的理論，並假定我們確定2-旋量和狄拉克旋量在非相對論下相似。進一步逼出[[薛丁格方程]]對包利理論的限制。因此可看作非相對論的狄拉克方程近似薛定諤方程時可忽略自旋和做功在低能量和低速下進行。這是一個偉大的方程，用以探討虛數單位''i''，並透過狄拉克方程回到一個複雜的波函數。這也強調出為什麼薛定諤方程看似擴散方程式但其實是波的傳遞。

應大力強調狄拉克旋量的方式，分離的方式並明確採用低能量近似的方式。我們剛達到了包利的理論並且創造新的局面有關於相對論，[[反物質]]想法的產生和湮滅粒子的產生。

一般情況下(如果某個線性函數電磁場不同時消失的話)，三四個組成狄拉克方程的旋量可以代數消除，而重新組成一相當於四階偏微分的方程。<ref>Source: Journal of Mathematical Physics, 52, 082303 (2011) ({{cite web |url=http://jmp.aip.org/resource/1/jmapaq/v52/i8/p082303_s1 |title=存档副本 |accessdate=2012-04-26 |deadurl=yes |archiveurl=https://archive.is/20120718231440/http://jmp.aip.org/resource/1/jmapaq/v52/i8/p082303_s1 |archivedate=2012-07-18 }} or http://akhmeteli.org/wp-content/uploads/2011/08/JMAPAQ528082303_1.pdf )</ref>

==量測==
電子的[[異常磁矩]]的存在是藉由實驗上的磁共振法所偵測到的。透過量測幾個躍遷的共振頻率這可以用來決定[[氫]]和[[氘]]的電子殼層的[[超精細分裂]]。<ref>[http://journals.aps.org/pr/abstract/10.1103/PhysRev.74.250 [[Polykarp Kusch]], H. M. Foley]</ref><ref>[http://journals.aps.org/pr/abstract/10.1103/PhysRev.73.412 intrinsic moment of the electron]</ref>

用單電子迴旋加速器和{{link-en|量子非破壞性|Quantum nondemolition measurement}}光譜可以測得電子的磁矩大小。
==參見==
* [[電子電偶極矩]]
* [[異常磁偶極矩]]
* [[核磁矩]]
* [[精細結構]]
* [[超精細結構]]
* [[g因子]]

==註釋==
<references />

{{DEFAULTSORT:Electron Magnetic Dipole Moment}}
[[Category:原子物理学]]
[[Category:粒子物理学]]
[[Category:物理常數]]