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[[数学]]中，'''霍奇星算子'''（{{lang|en|Hodge star operator}}）或'''霍奇对偶'''（{{lang|en|Hodge dual}}）由[[苏格兰]]数学家{{tsl|en|W. V. D. Hodge|威廉·霍奇}}（{{lang|en|Hodge}}）引入的一个重要的[[线性映射]]。它定义在有限维[[定向 (数学)|定向]][[内积空间]]的[[外代数]]上。

==维数与代数==
霍奇星算子在 [[多重形式|''k''-形式]]空间与 (''n'' -''k'')-形式空间建立了一个对应。一个 ''k''-形式在这个对于下的像称为这个 ''k''-形式的'''霍奇对偶'''。''k''-形式空间的维数是

:<math> {n \choose k},\,</math>

后一个空间的维数是

:<math> {n \choose n - k},\,</math>

又由[[二项式系数]]的对称性，这两个维数事实上相等。两个具有相同维数的形式空间总[[同构]]；但不一定有一种自然或典范的方式。但霍奇对偶性利用了向量空间内积和定向，给出了一个特定的同构，因此在代数上这反应了二项式系数的性质。这也在 ''k''-形式空间上诱导了一个内积。“自然”定义意味着这个对偶性关系在理论中可起几何作用。

第一个有趣的情形是在三维[[欧几里得空间]] ''V''。在这种情形，[[帕斯卡三角形]]相关行是

:1, 3, 3, 1

霍奇对偶在两个三维空间之间建立起一个同构，一个是 ''V'' 自己，另一个是 ''V'' 中两个向量的[[楔积]]。具体细节参见[[#例子|例子]]一节。叉积只是三维的特殊性质，但霍奇对偶在所有维数都有效。

==扩张==
由于一個向量空間上 ''k'' 個變量的交錯線性形式空間自然同構于那個向量空間上的 ''k''-向量空間的[[對偶空間|對偶]]，霍奇對偶也能對這些空間定義。與線性代數的大部分構造一樣，霍奇對偶可以擴張到一個[[向量叢]]。這樣的霍奇對偶特別常見的是在余切叢的外代數（即流形上的微分形式）上，可用來從[[外導數]]構造'''余微分'''（{{lang|en|codifferential}}），以及[[拉普拉斯-德拉姆算子]]，它导致了[[紧]][[黎曼流形]]上微分形式的[[霍奇分解]]。

== ''k''-向量的霍奇星号的正式定义==
一个[[定向 (数学)|定向]][[内积]][[向量空间]] ''V'' 上的'''霍奇星算子'''是 ''V'' 的[[外代数]]（<math>\Lambda(V)</math>）上的一个线性算子，是 ''k''-向量子空间（<math>\Lambda^k(V)</math>） 与 (''n-k'')-向量子空间（<math>\Lambda^{n-k}(V)</math>） 之間的線性映射，这里 <math>0\le k\le n,\, n=\dim V</math>。它具有如下性质，这些性质完全定义了霍奇星算子：给定一个定向正交基 <math>e_1,e_2,\cdots,e_n</math> 我们有

:<math>\star (e_{i_1} \wedge e_{i_2}\wedge \cdots \wedge e_{i_k})= e_{i_{k+1}} \wedge e_{i_{k+2}} \wedge \cdots \wedge e_{i_n},</math>
其中 <math>(i_1,i_2,\cdots,i_n)</math> 是 <math>(1,2,\dots,n)</math> 的一個偶排列。

特別是我們有，
:<math>*(e_1\wedge e_2\wedge \cdots \wedge e_k)= e_{k+1}\wedge e_{k+2}\wedge \dots \wedge e_n.</math>

==星算子的指标记法==
使用指标记法，霍奇对偶由[[张量缩并|缩并]]一个 ''k''-形式与 ''n''-维完全反对称'''列维-奇维塔张量'''的指标得到。这不同于[[列维-奇维塔符号]]有一个额外因子 (det ''g'')<sup>½</sup>，这里 ''g'' 是一个内积（如果 ''g'' 不是正定的，比如[[伪黎曼流形#洛伦兹流形|洛伦兹流形]]的切空间，则取行列式的绝对值）。

从而有
:<math>(*\eta)_{i_1,i_2,\ldots,i_{n-k}}=
\frac{1}{k!} \eta^{j_1,\ldots,j_k}\,\sqrt {|\det g|} \,\epsilon_{j_1,\ldots,j_k,i_1,\ldots,i_{n-k}},\,</math>

这里 η 是任意一个反对称 ''k'' 阶张量。利用在定义列维-奇维塔张量中同一个内积 ''g'' 上升和下降指标。当然也可以对任何张量取星号，所得是反对称的，因为张量的对称分量在与完全反对称列维-奇维塔张量缩并时完全抵消了。

==例子==
星算子一个常见例子是在 ''n'' = 3，可以做为 3 维向量与[[斜对称矩阵]]之间的对应。这不明显地使用于[[向量分析]]中，例如由两个向量的[[楔积]]产生[[叉积]]向量。具体地说，对[[欧几里得空间]] '''R'''<sup>3</sup>，容易发现

:<math>*\mathrm{d}x=\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z</math>
和
:<math>*\mathrm{d}y=\mathrm{d}z\wedge \mathrm{d}x</math>
以及
:<math>*\mathrm{d}z=\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y</math>

这里 d''x''、d''y'' 与 d''z'' 是 '''R'''<sup>3</sup> 上的标准正交微分[[1-形式]]。霍奇对偶在此情形显然对应于三维中的叉积。

当 ''n'' = 4 时，霍奇对偶作用在第二外幂（6 维）上是[[自同态]]。它是一个[[对合]]，从而可以分解为子对偶与反自对偶子空间，在这两个子空间上的作用分别为 +1 和 -1。

另一个有用的例子是 ''n'' = 4 [[闵可夫斯基时空]]，具有度量符号为 (+,-,-,-,) 与坐标 (''t,x,y,z'')，对[[1-形式]]有

:<math>*\,\mathrm{d}t=\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y \wedge\mathrm{d}z</math>

:<math>*\,\mathrm{d}x=\mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}y \wedge\mathrm{d}z</math>

:<math>*\,\mathrm{d}y=-\mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}x \wedge\mathrm{d}z</math>

:<math>*\,\mathrm{d}z=\mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}x \wedge\mathrm{d}y</math>

对[[2-形式]]有

:<math>*\, \mathrm{d}t \wedge\mathrm{d}x = - \mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z</math>

:<math>*\, \mathrm{d}t \wedge\mathrm{d}y =   \mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}z</math>

:<math>*\, \mathrm{d}t \wedge\mathrm{d}z = - \mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y</math>

:<math>*\, \mathrm{d}x \wedge\mathrm{d}y =   \mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}z</math>

:<math>*\, \mathrm{d}x \wedge\mathrm{d}z = - \mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}y</math>

:<math>*\, \mathrm{d}y \wedge\mathrm{d}z =   \mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}x</math>

==''k''-向量的内积==
霍奇对偶在 ''k''-向量空间上诱导了一个内积，即在 ''V'' 的[[外代数]]上。给定两个 ''k''-向量  <math>\eta</math> 与 <math>\zeta</math>，有

:<math>\zeta\wedge *\eta = \langle\zeta, \eta \rangle\;\omega,\,</math>
这里 ω 是正规化的[[体积形式]]。可以证明 <math>\langle\cdot,\cdot\rangle </math> 是一个[[内积]]，它是[[半双线性]]的，并定义了一个[[范数]]。反之，如果在 <math> \Lambda^k(V) </math> 上给了一个内积，则这个等式可以做为霍奇对偶的另一种定义<ref>{{cite book| last = Darling| first = R. W. R. | title = Differential forms and connections| publisher =Cambridge University Press| date=  1994}}</ref>。

本质上，''V'' 的正交基元素的楔积组成了 ''V'' 的外代数的一个正交基。当霍奇星号扩张到流形上，可以证明体积形式能写做

:<math>\omega=\sqrt{|\det g_{ij}|}\;dx^1\wedge\ldots\wedge dx^n,\,</math>

其中 <math>g_{ij}</math> 是流形的[[度量张量|度量]]。

==对偶性==
当作用两次时霍奇星号定义了一个对偶，不考虑符号的话，所得结果是外代数上一个恒等式。给定 ''n''-维空间 ''V'' 上一个 ''k''-向量 <math>\eta \in \Lambda^k (V)</math>，我们有

:<math>**\eta=(-1)^{k(n-k)}s\;\eta,\,</math>
这里 ''s'' 与 ''V'' 上内积的[[度量符号|符号]]有关。具体说，''s'' 是内积张量[[行列式]]的符号。例如，如果 ''n'' = 4 时，若内积的符号是 (+,-,-，-) 或 (-,+,+,+) 则 ''s'' = -1。对普通的欧几里得空间，符号总是正的，所以 ''s'' = +1。在普通向量空间，这一般不是一个问题。当霍奇星号扩张到伪-黎曼流形上时，上面的内积理解为对角形式的度量。

==流形上的霍奇星号==
在一个 ''n''-维定向[[黎曼流形|黎曼]]或[[伪黎曼流形|伪黎曼]]流形上每一点的[[切空间]]上可以重复如上构造，将得到 [[微分形式|''k''-形式]]的'''霍奇对偶'''，是一个 ''n- k'' 形式。霍奇星号在流形上的微分形式上诱导了一个 [[Lp空间|L<sup>2</sup>-范数]]。对 <math>\Lambda^k(M)</math> 的[[截面 (纤维丛)|空间截面]] <math>\eta</math> 与 <math>\zeta</math>，其内积可写做

:<math>(\eta,\zeta)=\int_M \eta\wedge *\zeta.\,</math>

（截面的集合通常记做 <math>\Omega^k(M)=\Gamma(\Lambda^k(M))</math>；里面的元素称为外 ''k''-形式。）

更一般地，在非定向情形，我们可以定义 ''k''-形式的霍奇星号维一个 (''n - k'')-[[伪张量|伪微分形式]]；即取值于[[典范线丛]]的一个微分形式。
===餘微分===
霍奇星号在流形上最重要的应用是用来定义'''餘微分''' δ。令

:<math>\delta = (-1)^{nk + n + 1} *d*\,</math>

这里 ''d'' 是[[外导数]]。对黎曼流形 ''s'' = +1 。

:<math>d:\Omega^k(M)\rightarrow \Omega^{k+1}(M),\,</math>
而

:<math>\delta:\Omega^k(M)\rightarrow \Omega^{k-1}(M).\,</math>

相比于外导数，餘微分不是外代数上的[[反导子]]。

餘微分在是外微分的[[伴随算子|伴随]]：

:<math> \langle \delta \zeta, \eta\rangle = \langle \zeta, d\eta\rangle .\,</math>

这个恒等式是因为体积形式 ω 满足 ''d''ω = 0，从而 

:<math>\int_M d(\zeta \wedge *\eta)=0.\,</math>

[[拉普拉斯–贝尔特拉米算子|拉普拉斯–德拉姆]]算子由

:<math>\Delta=\delta d + d\delta</math>

给出，是[[霍奇理论]]的核心。它有对称性：

:<math>\langle\Delta \zeta,\eta\rangle = \langle\zeta,\Delta \eta\rangle,\,</math>

以及非负：

:<math>\langle\Delta\eta,\eta\rangle \ge 0.\,</math>

霍奇星号将一个调和形式变成调和形式。作为[[霍奇定理]]的一个推论，[[德拉姆上同调]]自然同构于调和 ''k''-形式空间，从而霍奇星号诱导了上同调群之间一个同构
:<math>\star : H^k_\Delta(M)\to H^{n-k}_\Delta(M),\,</math>
通过[[庞加莱对偶性]]，这给出了 ''H''<sup>k</sup>(''M'') 与它的[[对偶空间]]的一个典范等价。

==三维中的导数==
<math>\ast</math> 算子与[[外导数]] <math>d</math> 的组合推广了三维经典算子 [[梯度|grad]]、[[旋度|curl]] 和 [[散度|div]]。具体做法如下：<math>d</math> 将一个 0-形式（函数）变成 1-形式，1-形式变成 2-形式，2-形式变成 3-形式（应用到 3-形式变成零）。

1. 对一个 0-形式（<math>\omega=f(x,y,z)</math>），第一种情形，写成分量与 <math>\operatorname{grad}</math> 算子等价：
:<math>d\omega=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy+\frac{\partial f}{\partial z}dz.</math>

2. 第二种情形后面跟着 <math>\ast</math>，是 1-形式（<math>\omega=Adx+Bdy+Cdz</math>）上一个算子，其分量是 <math>\operatorname{curl}</math> 算子：
:<math>d\omega=\left({\partial C \over \partial y} - {\partial B \over \partial z}\right)dy\wedge dz  + \left({\partial C \over \partial x} - {\partial A \over \partial z}\right)dx\wedge dz+\left({\partial B \over \partial x} - {\partial A \over \partial y}\right)dx\wedge dy.</math>

使用霍奇星号给出：
:<math>\ast d\omega=\left({\partial C \over \partial y} - {\partial B \over \partial z}\right)dx  - \left({\partial C \over \partial x} - {\partial A \over \partial z}\right)dy+\left({\partial B \over \partial x} - {\partial A \over \partial y}\right)dz.</math>
3. 最后一种情形，前面与后面都有一个 <math>\ast</math>，将一个 1-形式（<math>\omega=Adx+Bdy+Cdz</math>）变成 0-形式（函数）；写成分量是 <math>\operatorname{div}</math> 算子：
:<math>\ast\omega=Ady\wedge dz-Bdx\wedge dz+Cdx\wedge dy</math>
:<math>d\ast\omega=\left(\frac{\partial A}{\partial x}+\frac{\partial B}{\partial y}+\frac{\partial C}{\partial z}\right)dx\wedge dy\wedge dz</math>
:<math>\ast d\ast\omega=\frac{\partial A}{\partial x}+\frac{\partial B}{\partial y}+\frac{\partial C}{\partial z}.</math>

这些表达式的一个好处是恒等式 <math>d^2=0</math>，任何情形都成立，将
:<math>\operatorname{curl}(\operatorname{grad}(f))=\operatorname{div}(\operatorname{curl}(\mathbf{F}))=0</math> 
统一起来了。特别地，[[麦克斯韦方程组]]用外导数与霍奇星号表示时，有一个特别简单和优美的形式：
:<math>\mathrm{d}\mathbf{F}=0,\qquad\mathrm {d} * {\mathbf{F}}=\mathbf{J}.</math> 
这里 <math>\mathbf{F}</math> 是四维洛伦兹时空中某个 2-形式，<math>\mathbf{J}</math> 是电流 3-形式。

==注释==
{{Reflist}}

==参考文献==
* Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, ''Gravitation'', (1970) W.H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0. ''(Provides a basic review of differential geometry in the special case of four-dimensional space-time.)''
* Jurgen Jost, ''Riemannian Geometry and Geometric Analysis'', (2002) Springer-Verlag, Berlin  ISBN 3-540-42627-2 . ''(Provides a detailed exposition starting from basic principles, but does not treat the pseudo-Riemannian case).''
* David Bleecker, ''Gauge Theory and Variational Principles'', (1981) Addison-Wesley Publishing, New York' ISBN 0-201-10096-7. ''(Provides condensed review of non-Riemannian differential geometry in chapter 0).''

[[Category:微分形式|H]]
[[Category:黎曼几何|H]]
[[Category:对偶理论|H]]