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'''非线性特征值问题'''是[[特征值]], [[非线性]]依赖于特征值的方程的[[特征向量|特征值问题]]的推广. 具体来说, '''非线性特征值问题'''指的是具以下形式的方程:

:<math>A(\lambda) \mathbf{x} = 0 , \,</math>

其中 '''x''' 是[[向量]](非线性"特征向量"),  ''A'' 是 <math>\lambda</math> (非线性"特征根")的[[函数]][[矩阵]].(更一般的, <math>A(\lambda)</math> 可以是一个[[线性映射]], 但最常用的是有限维矩阵, 通常为方阵.)  通常要求 ''A'' 为 <math>\lambda</math> (在某个[[定义域]]内)的[[全纯函数]].

例如, 特征值问题 <math>B\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}</math>, 其中 ''B'' 为方阵, 对应于 <math>A(\lambda) = B - \lambda I</math> 的特征值问题, 其中 ''I'' 是[[单位矩阵]].

常见的情况是'''多项式特征值问题''', 其中 ''A'' 为[[多项式矩阵]]. 特别的, 当多项式的[[次数]]为二时被称作[[二次特征值问题]], 此时 ''A'' 具有以下形式:

:<math>A(\lambda) \mathbf{x} = ( A_2 \lambda^2 + A_1 \lambda + A_0) \mathbf{x} =  0 , \,</math>

其中 ''A''<sub>0,1,2</sub> 为常数矩阵.  该问题可通过定义新的向量 <math>\mathbf{y} = \lambda \mathbf{x}</math> 转化为正常的特征值问题, 即

:<math>\begin{pmatrix} -A_0 & 0 \\ 0 & I \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathbf{x} \\ \mathbf{y} \end{pmatrix} =  \lambda
\begin{pmatrix} A_1 & A_2 \\ I & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathbf{x} \\ \mathbf{y} \end{pmatrix}
, </math>

其中 ''I'' 为单位矩阵.  更一般的, 如果 ''A'' 是 ''d'' 次多项式矩阵，那么多项式特征值问题可以转化为 ''d''倍大小的(广义)线性特征值问题. 

由于将非线性特征值问题只能在 ''A'' 为多项式的情况下转化为正常的特征值问题, 有许多其他的解决非线性特征问题的方法, 这些方法基于[[雅可比戴维森算法]]或[[牛顿法]]([[反幂法]]).

==参考资料==
* Françoise Tisseur and Karl Meerbergen, "The quadratic eigenvalue problem," ''SIAM Review '43''' (2), 235-286 (2001).
* Gene H. Golub and Henk A. van der Vorst, "Eigenvalue computation in the 20th century," ''Journal of Computational and Applied Mathematics '123''', 35-65 (2000).
* Philippe Guillaume, "Nonlinear eigenproblems," ''SIAM J. Matrix. Anal. Appl. '20''' (3), 575-595 (1999).
* Axel Ruhe, "Algorithms for the nonlinear eigenvalue problem," ''SIAM Journal on Numerical Analysis '10''' (4), 674-689 (1973).
[[Category:线性代数]]