查看“類球面”的源代码

{| class=wikitable align=right
|+ 椭圆围绕一个垂直轴旋转而成的类球面
|- align-center 
|colspan=3|[[File:Spheroids.svg|360px]]
|- style="text-align: center"
!colspan=2 width=100|扁球面||長球面
|}

'''類球面'''是一種[[二次曲面]]。二維的[[橢圓]]有兩個主軸，稱為'''長軸'''與'''短軸'''。在三維空間裏，將一個橢圓繞著其任何一主軸旋轉，則可得到一個類球面。
*假若，這旋轉主軸是長軸，則這個類球面為長球面。例如，[[英式足球]]裏所用的[[橄欖球]]是長球形狀。
*假若，這旋轉主軸是短軸，則這個類球面為扁球面。例如，[[地球]]在北極與南極稍微有點扁平，在赤道又有點凸漲。所以，地球是扁球形狀。
*假若，生成的橢圓是[[圓圈]]，則這個類球面為完全對稱的[[球面|圓球面]]。

==方程式==
[[File:ellipsoid-rot-ax.svg|thumb|350px|对类球面半轴的赋值。如果{{math|''c'' < ''a''}}则为扁球面（左图）而如果{{math|''c'' > ''a''}}则为长球面（右图）。]] 
用另外一種方法來描述，類球面是一種[[橢球面]]。採用直角坐標<math>(x,\ y,\ z)\,\!</math>，橢球面可以表達為
:<math>{x^2 \over a^2}+{y^2 \over b^2}+{z^2 \over c^2}=1</math>；

其中，<math>a\,\!</math>與<math>b\,\!</math>分別是橢球面在x-軸與y-軸的'''赤道半徑'''，<math>c\,\!</math>是橢球面在z-軸的'''極半徑'''，這三個正值實數的半徑決定了橢球面的形狀。 以z-轴为旋转轴的类球面<math>a = b \,</math>，它的方程为：
:<math>\frac{x^2+y^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1</math>。

*假若，三個半徑都相等，則這橢球面是[[球面|圓球面]]：
::<math>a=c\,\!</math>。

*假若，類球面的赤道半徑小於極半徑，則這是類球面是長球面：
::<math>a<c\,\!</math>。

*假若，類球面的赤道半徑大於極半徑，則這是類球面是扁球面：
::<math>a>c\,\!</math>。

==性质==
===面積===
扁球面{{math|''c'' < ''a''}}，它的[[表面积]]为：
:<math>S_{\rm oblate} = 2\pi a^2\left(1+\frac{1-e^2}{e}\text{artanh}\, e\right)=2\pi a^2+\pi \frac{c^2}{e}\ln \left( \frac{1+e}{1-e}\right) \quad </math>其中<math>\, e^2=1-\frac{c^2}{a^2}</math>。
扁球面是半长轴为{{mvar|a}}而半短轴为{{mvar|c}}的椭圆围绕{{mvar|z}}-轴旋转而形成的，因此{{mvar|e}}可看作为[[离心率]]<ref>A derivation of this result may be found at {{cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/OblateSpheroid.html |title=Oblate Spheroid - from Wolfram MathWorld |publisher=Mathworld.wolfram.com |date= |accessdate=24 June 2014}}</ref>。

长球面{{math|''c'' > ''a''}}，它的表面积为：
:<math>S_{\rm prolate} = 2\pi a^2\left(1+\frac{c}{ae}\arcsin \, e\right) \qquad </math>其中<math>\, e^2=1-\frac{a^2}{c^2}</math>。
长球面是半长轴为{{mvar|c}}而半短轴为{{mvar|a}}的椭圆围绕{{mvar|z}}-轴旋转而形成的，因此{{mvar|e}}可看作[[离心率]]<ref>A derivation of this result may be found at {{cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/ProlateSpheroid.html |title=Prolate Spheroid - from Wolfram MathWorld |publisher=Mathworld.wolfram.com |date=7 October 2003 |accessdate=24 June 2014}}</ref>。

===體積===
類球的體積是<math>\frac{4}{3}\pi a^2 c\,\!</math>。

===曲率===
假若，一個類球面被參數化為
:<math>\boldsymbol{\sigma}(\beta,\ \lambda) = (a \cos \beta \cos \lambda,\ a \cos \beta \sin \lambda,\ b \sin \beta)\,\!</math> ;

其中，<math>\beta\,\!</math>是[[參數緯度]]（{{lang|en|parametric latitude}}），<math> - \frac{\pi}{2}<\beta<\frac{\pi}{2}\,\!</math>，<math>\lambda\,\!</math>是[[經度]]，<math> - \pi<\lambda<+\pi\,\!</math>。

那麼，類球面的[[高斯曲率]]（{{lang|en|Gaussian curvature}}）是
:<math> K(\beta,\lambda) = {b^2 \over (a^2 + (b^2 - a^2) \cos^2 \beta)^2}\,\!</math>。

類球面的[[平均曲率]]（{{lang|en|mean curvature}}）是
:<math> H(\beta,\lambda) = {b (2 a^2 + (b^2 - a^2) \cos^2 \beta) \over 2 a (a^2 + (b^2 - a^2) \cos^2 \beta)^{3/2}}\,\!</math>。

對於類球面，這兩種曲率永遠是正值的。所以，類球面的每一點都是橢圓的。

==參閱==
*[[皮埃爾·莫佩爾蒂]]
*[[橢球體]]
*[[卵形體]]（{{lang|en|ovoid}}）
*[[長球面坐標系]]
*[[扁球面坐標系]]
==引用==
{{reflist}}

[[Category:曲面|L]]
[[Category:二次曲面|L]]