查看“餘切”的源代码

{{refimprove|time=2012-10-10T05:10:52+00:00}}
{{函數
|name =餘切
|image =Cotan proportional.svg
|heading1 =1
|parity =奇
|domain =  {x∈R〡x≠kπ，k∈Z}
|codomain = (-∞,+∞)
|period = π
|heading2 = 1
|zero = ∞
|plusinf = N/A
|minusinf = N/A
|max = +∞
|min = -∞
|vr1 =
|f1 =
|vr2 =
|f2 =
|vr3 =
|f3 =
|vr4 =
|f4 =
|vr5 =
|f5 =
|heading3 = 1
|asymptote = N/A
|root = kπ+π/2
|critical = 
|inflection = 
|fixed = 0.8603335901348...
|notes =k是一個[[整數]].}}
'''餘切'''（{{lang-en|Cotangent}}，一般記作<math>\cot</math>，或者ctg）是[[三角函数]]的一种，是[[正切]]的餘角函數。它的[[定义域]]是整个不等于<math>k\pi</math>的实数的集合，<math>k</math>为整数，[[值域]]是整个实数集。它是[[周期函数]]，其最小正周期为<math>\pi</math>。餘切函数是[[奇函数]]。

餘切函數在各个小区间上单独看為[[单调递减]][[函數]]，和[[正切]]互為[[倒數]]，其[[函數圖形]]和[[正切]][[函數圖形]][[對稱]]於<math>\frac{\pi}{4}</math>；該函數不連續，有[[奇点_(数学)|奇點]]<math>k\pi</math>，其中<math>k</math>是一個[[整數]]。

==符号说明==
余切最早用符号tan.com表示，该符号同正切一样，最初由T.芬克使用。后来人们又逐渐将该符号简化为ctg，后来又改为cot，与现代符号完全相同。
==定义==

===直角三角形中===
[[File:Rtriangle.svg|left|thumb|200px|直角三角形，<math>\angle C</math>為直角，<math>\angle A</math>的角度為 <math> \theta </math>， 對於<math>\angle A</math>而言，a為對邊、b為鄰邊、c為斜邊]]
在[[直角三角形]]中，一个[[锐角]]的'''餘切'''定义为它的鄰邊与對邊的[[比值]]，也就是：
:<math> \cot \theta = \frac {\mathrm{b}}{\mathrm{a}}\,\!</math>

可以發現其定義和[[正切函數]]互為[[倒數]]。

=== 直角坐标系中 ===
设<math>\alpha</math>是平面直角坐标系xOy中的一个[[象限角]]，<math>P\left( {x,y} \right)</math>是角的终边上一点，<math>r = \sqrt {x^2 + y^2 }>0</math>是P到原点O的距离，则α的正切定义为：
:<math>\cot \alpha = \frac{x}{y}</math>
{{clear}}
=== 单位圆定义 ===
[[File:Unit_circle_angles.svg|300px|thumb|right|[[单位圆]]]]
图像中给出了用弧度度量的某个公共角。[[逆时针方向]]的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过[[原点]]的[[线]]，同 ''x'' 轴正半部分得到一个角<math> \theta </math>，并与单位圆相交，並令这个交点為''y''。另原點為''O''。做一直線，''y''點，垂直於<math>\overline{Oy}</math>，並與单位圆相切，令直線與y軸的[[交點]]，則此點與''y''點之[[距離]]為[[餘切比]]值。
[[File:Circle-trig6.svg|300px|thumb|left|[[单位圆]]上的餘切]]
{{clear}}
单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度，產生斜边等于 1 的无限数目個[[三角形]]的一种方式。

对于大于<math>2\pi</math>或小于<math>-2\pi</math>的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，有些[[三角函數]]变成了周期为<math>2\pi</math>的[[周期函数]]；但由於餘切是切線，再绕单位圆旋转時，會出現周期是<math>\pi</math>，所以正切是周期为<math>\pi</math>的[[周期函数]]:

:<math>\cot\theta = \cot\left(\theta + \pi k \right)</math>

对于任何角度<math>\theta</math>和任何[[整数]]<math>k</math>。

=== 級數定義 ===
餘切函數也可以使用[[泰勒展開式]]定義
:<math>\cot x = \frac{1}{x}-\frac{x}{3}-\frac{x^3}{45}-\frac{2 x^5}{945}-\frac{x^7}{4725}-\frac{2 x^9}{93555}+...</math>

=== [[微分方程]]定义 ===
[[cot]]的[[微分]]是[[負]][[csc]]的[[平方]]
:<math>\cot 'x\ = -\csc^2 x</math>
另外
:<math>\int \cot x  \, dx = \ln (\sin x)</math>
所以可以用
:<math>\cot x = (\ln (\sin x))' \,</math>來定義。

=== [[指数]]定义 ===
<math>\cot \theta = \frac{{\mathrm{i}}(e^{{\mathrm{i}}\theta} + e^{-{\mathrm{i}}\theta})}{e^{{\mathrm{i}}\theta} - e^{-{\mathrm{i}}\theta}} \,</math>

== 恒等式 ==
=== 用其它三角函数来表示餘切 ===
{| class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF;text-align:center"
! 函數
!<math>\sin</math>
!<math>\cos</math>
!<math>\tan</math>
!<math>\cot</math>
!<math>\sec</math>
!<math>\csc</math>
|-
! <math>\cot \theta </math>
| <math> {\sqrt{1 - \sin^2\theta} \over \sin \theta} </math>
| <math> {\cos \theta \over \sqrt{1 - \cos^2\theta}} </math>
| <math> {1 \over \tan\theta} </math>
| <math> \cot\theta\ </math>
| <math> {1 \over \sqrt{\sec^2\theta - 1}} </math>
| <math> \sqrt{\csc^2\theta - 1} </math>
|}
=== 和差角公式 ===
:<math>\cot(\theta\pm\psi)=\frac{\cot\theta\cot\psi\mp1}{\cot\psi\pm\cot\theta}</math>

=== 二倍角公式 ===
<math>\begin{align}\cot 2\theta &= \frac{\cot^2 \theta - 1} {2\cot\theta}\\
& = \frac{1}{\cot\theta - 1}-\frac{1}{\cot\theta + 1}\\
\end{align}</math>

=== 半角公式 ===
:<math>\begin{align} \cot \frac{\theta}{2} &= \csc \theta + \cot \theta \\ &= \pm\, \sqrt{1 + \cos \theta \over 1 - \cos \theta} \\ &= \frac{\sin \theta}{1 - \cos \theta} \\ &= \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta}\\ &= \frac{\cos \theta-\sin \theta+1}{\cos \theta+\sin \theta-1} \end{align}</math>

=== 三倍角公式 ===
:<math>\cot 3\theta =\frac{\cot^3\theta - 3\cot\theta}{3 \cot^2\theta-1}</math>

== 余切定理 ==
{{main|余切定理}}
[[Image:Triangle with notations 2.svg|thumb|198px|right|一个三角形。它的三个内角及其对边。]]
'''余切定理'''是[[三角学]]中关于[[三角形]][[内切圆]]半径的定理。

假设<math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, 与<math>\gamma</math>是三角形的三个内角，<math>a</math>, <math>b</math>, 与<math>c</math>是与之对应的三个对边，若
: <math> \zeta = \sqrt{\frac{1}{s} (s-a)(s-b)(s-c)} </math> （这个三角形的内切圆半径），其中：
: <math> s = \frac{a+b+c}{2 } </math>（<math>s</math>就是三角形的半周长），
那么[[余切]]定理告诉我们：<ref>The Universal Encyclopaedia of Mathematics, Pan Reference Books, 1976, page 530. English version George Allen and Unwin, 1964. Translated from the German version Meyers Rechenduden, 1960.</ref>
: <math>\cot{ \frac{\alpha}{2 }} = \frac{s-a}{\zeta }</math>

: <math>\cot{ \frac{\beta}{2 }} = \frac{s-b}{\zeta }</math>

: <math>\cot{ \frac{\gamma}{2 }} = \frac{s-c}{\zeta }</math>

还有

: <math> \frac{\cot(\alpha/2)}{s-a} = \frac{\cot(\beta/2)}{s-b} = \frac{\cot(\gamma/2)}{s-c}. </math>

总而言之：余切定理就是某个角一半的余切等于半周长减去这个角所对的边长再除以三角形的内切圆半径。

==參見==
{{commonscat|Cotangent function}}
*[[正切]]
*[[正弦]]
*[[餘弦]]
*[[正割]]
*[[餘割]]
*[[三角函數]]

==参考资料==
{{reflist}}

{{三角函數}}

[[Category:三角学]]
[[Category:三角函數]]

[[en:Trigonometric functions#Reciprocal functions]]
[[no:Trigonometriske funksjoner#Resiproke funksjoner]]