查看“馬可夫過程”的源代码

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[[File:Markov process-example.svg|thumb|馬可夫過程範例]]

在[[概率論]]及[[統計學]]中，'''馬可夫過程'''（{{lang-en|Markov process}}）是一個具備了[[馬可夫性質]]的[[隨機過程]]，因為俄國數學家[[安德雷·馬可夫]]得名。馬可夫過程是不具備記憶特質的（memorylessness）。換言之，馬可夫過程的[[条件概率]]僅僅與系统的當前狀態相關，而與它的過去歷史或未來狀態，都是[[統計獨立性|獨立]]、不相關的<ref>[http://www.britannica.com/EBchecked/topic/365797/Markov-process Markov process (mathematics)] - Britannica Online Encyclopedia</ref>。

具備離散[[狀態空間 (計算機科學)|狀態]]的馬可夫過程，通常被稱為[[馬可夫鏈]]。馬可夫鏈通常使用離散的時間集合定義，又稱離散時間馬可夫鏈<ref>Everitt,B.S. (2002) ''The Cambridge Dictionary of Statistics''. CUP. ISBN 0-521-81099-x</ref>。有些學者雖然採用這個術語，但允許時間可以取連續的值<ref>Dodge, Y. ''The Oxford Dictionary of Statistical Terms'', OUP. ISBN 0-19-920613-9</ref><ref>参见[[:en:continuous-time Markov process]]</ref>。

==概論==
{| border="1" class="wikitable" style="width: 60%;" |
! scope="col" | 
! scope="col" | 可數或有限的狀態空間
! scope="col" | 連續或一般的狀態空間
|-
! scope="row" | 離散時間
|在可數且有限狀態空間下的[[馬可夫鏈]] || [[Harris chain]] (在一般狀態空間下的馬可夫鏈)
|-
! scope="row" style="width: 10%;" |連續時間
| style="width: 25%;" | [[Continuous-time Markov process]] || style="width: 25%;" |任何具備馬可夫性質的[[連續隨機過程]]，例如[[维纳过程]]
|}

==數學模型==
{{Main|马尔可夫性质}}
对于某些类型的[[随机过程]]，很容易通过状态定义列方程推导出是否具有马尔可夫性质，但对于另外一些，需要使用[[马尔可夫性质]]中描述的一些更加复杂的数学技巧。举一个简单的例子，设某个[[随机过程]]他的状态''X''可取到一个离散集合中的值，该值随时间''t''变化，可将该值表示为''X''(''t'')。在这里，时间变量是离散或连续不影响讨论的结果。考虑任意一个“过去的时间”集合(...,''p''<sub>2</sub>, ''p''<sub>1</sub>), 任何“当前时间”''s'', 以及任何“未来时间” ''t'', 同时所有这些时间全都在''X''的取值范围之内，若有
:<math>\cdots < p_2 < p_1 < s <t. \, </math>
则马尔可夫性质成立, 并且该过程为马尔可夫过程, 如果式
:<math>\Pr\big[X(t) = x(t) \mid X(s) = x(s), X(p_1)=x(p_1), X(p_2)=x(p_2), \dots \big] </math>
::<math>= \Pr\big[X(t) = x(t) \mid X(s) = x(s) \big] </math>
对于所有的取值( ... ,''x''(''p''<sub>2</sub>), ''x''(''p''<sub>1</sub>), ''x''(''s''), ''x''(''t'') ), 以及所有的时间集合成立。 则可用[[条件概率]]计算得出
:<math>\Pr\big[X(t) = x(t) \mid X(s) = x(s), X(p_1)=x(p_1), X(p_2)=x(p_2), \dots \big]</math>
与任何过去的取值( ... ,''x''(''p''<sub>2</sub>), ''x''(''p''<sub>1</sub>) )不相关，这恰好就是所谓的未来的状态与任何历史的状态无关，仅与当前状态相关。
===二阶马尔可夫过程===
在某些情况下，如果将“现在”和“未来”的概念扩展，某些明显的非马尔可夫过程仍然可能具有某些马尔可夫过程的性质。举例来说，令''X''是一个非马尔可夫过程，现在构造一个过程''Y''，使其每个状态对应于''X''的一个时段的状态。从而有如下形式：
:<math>Y(t) = \big\{ X(s): s \in [a(t), b(t)] \, \big\}.</math>
如果''Y''具有马尔可夫性质，则称''X''为二阶马尔可夫过程，据此也可定义更高阶马尔可夫过程。一个高阶马尔可夫过程的例子是[[移动平均]]的[[时间序列]]

==马尔可夫性质==
'''-{A|zh-hans:马尔可夫;zh-hant:馬可夫}-性质'''是[[概率论]]中的一个概念。当一个[[随机过程]]在给定现在状态及所有过去状态情况下，其未来状态的条件[[概率分布]]仅依赖于当前状态；换句话说，在给定现在状态时，它与过去状态（即该过程的历史路径）是[[条件独立]]的，那么此[[随机过程]]即具有'''马尔可夫性质'''。具有马尔可夫性质的过程通常称之为'''[[马尔可夫过程]]'''。

数学上，如果<math>X(t), t>0</math>为一个随机过程，则'''马尔可夫性质'''就是指
:<math>\mathrm{Pr}\big[X(t+h) = y \,|\, X(s) = x(s), s \leq t\big] = \mathrm{Pr}\big[X(t+h) = y \,|\, X(t) = x(t)\big], \quad \forall h > 0.</math>

马尔可夫过程通常称其为'''（时间）齐次'''，如果满足
:<math>\mathrm{Pr}\big[X(t+h) = y \,|\, X(t) = x(t)\big] = \mathrm{Pr}\big[X(h) = y \,|\, X(0) = x(0)\big], \quad \forall t, h > 0,</math>
除此之外则被称为是'''（时间）非齐次'''的。齐次马尔可夫过程通常比非齐次的简单，构成了最重要的一类马尔可夫过程。

某些情况下，明显的[[非马尔可夫过程]]也可以通过扩展“现在”和“未来”状态的概念来构造一个马尔可夫表示。设<math>X</math>为一个非马尔可夫过程。我们就可以定义一个新的过程<math>Y</math>，使得每一个<math>Y</math>的状态表示<math>X</math>的一个时间区间上的状态，用数学方法来表示，即，
:<math>Y(t) = \big\{ X(s) : s \in [a(t), b(t)] \, \big\}.</math>
如果<math>Y</math>具有马尔可夫性质，则它就是<math>X</math>的一个马尔可夫表示。
在这个情况下，<math>X</math>也可以被称为是'''二阶马尔可夫过程'''。'''更高阶马尔可夫过程'''也可类似地来定义。

具有马尔可夫表示的非马尔可夫过程的例子，例如有[[移动平均]][[时间序列]]。

最有名的马尔可夫过程为[[马尔可夫链]]，但不少其他的过程，包括[[布朗运动]]也是马尔可夫过程。
==註釋==
{{reflist}}
==相關條目==
* [[圖模式]]
* [[马尔可夫链]]
* [[马尔可夫逻辑网络]]

{{Stochastic processes}}

{{Authority control}}
{{DEFAULTSORT:Markov Process}}
[[Category:随机过程]]