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[[File:Normal distribution pdf.png|thumb|325px|用[[期望值]]及[[方差]]作为参数表示的高斯曲线（参见[[正态分布]]）]]

'''高斯函数'''的形式为

:<math>f(x) = a e^{-(x-b)^2/2c^2}</math>

的[[函数]]。其中''a''、''b''与  ''c''为[[实数]]常数，且''a'' > 0.

''c''<sup>2</sup> = 2的高斯函数是[[傅立叶变换]]的[[特征函数]]。这就意味着高斯函数的傅立叶变换不仅仅是另一个高斯函数，而且是进行傅立叶变换的函数的[[标量]]倍。

高斯函数属于[[初等函数]]，但它没有初等[[不定积分]]。但是仍然可以在整个实数轴上计算它的广义积分（参见[[高斯积分]])：

:<math>\int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}</math>。

<br />

=== 半峰全宽与积分 ===
联立[[高斯积分]]

: <math>\int_{-\infty}^\infty a e^{-(x-b)^2/(2c^2)}\,dx=ac\cdot\sqrt{2\pi}.</math>
: 和[[半峰全宽]]，
:: <math> \mathrm{FWHM} =   2\sqrt{2 \ln 2 } \; \sigma \approx 2.355 \; \sigma.</math>  解得
: <math>\int_{-\infty}^\infty a e^{-(x-b)^2/(2c^2)}\,dx=a\cdot\sqrt{2\pi}FWHM/2.355\approx1.064 \cdot a\cdot FWHM</math>
: 

<br />
==应用==

高斯函数的不定积分是[[误差函数]]。在[[自然科学]]、[[社会科学]]、[[数学]]以及[[工程学]]等领域都有高斯函数的身影，这方面的例子包括：
* 在[[统计学]]与[[概率论]]中，高斯函数是'''[[正态分布]]'''的密度函数，根据[[中心极限定理]]它是复杂总和的有限[[概率分布]]。
* 高斯函数是[[量子谐振子]][[基态]]的[[波函数]]。
* [[计算化学]]中所用的[[分子轨道]]是名为[[高斯轨道]]的高斯函数的[[线性组合]]（参见[[量子化学中的基组]]）。
* 在数学领域，高斯函数在[[埃尔米特多项式]]的定义中起着重要作用。
* 高斯函数与[[量子场论]]中的[[真空态]]相关。
* 在[[光学]]以及[[微波]][[系统]]中有[[高斯波束]]的应用。
* 高斯函数在[[图像处理]]中用作预平滑核（参见[[尺度空间]]表示）。

==参见==
*[[劳伦兹函数]]
*[[正态分布]]
*[[洛仑兹变换]]

{{Math-stub}}

[[Category:指数]]
[[Category:函数]]