查看“高斯定律”的源代码

{{NoteTA|G1=物理學}}
{{redirect2|高斯定理|[[向量分析]]中的高斯定理|高斯散度定理}}
[[File:Carl Friedrich Gauss.jpg|right|thumb|200px|[[卡爾·高斯]]]]
[[File:Gauss Sphere Charge Inside 2.svg|right|thumb|200px|在閉合曲面 <math>\mathbb{A}</math> 的內部有電荷 <math>Q</math> ，因此會在閉合曲面產生電場 <math>\mathbf{E}</math> 。]]
'''高斯定律'''（{{lang|en|Gauss' law}}）表明在闭合[[曲面]]内的[[电荷]]分佈與產生的電場之間的關係：
* 其定性描述為：穿越出任意閉合曲面的淨[[電通量]]等於該閉合曲面內的淨[[電荷]]除以[[电容率]]。該閉合曲面稱為[[高斯面|高斯曲面]]。
* 真空中高斯定律[[積分]]形式为：{{oiint| preintegral =<math>\Phi = </math>| intsubscpt = <math>\mathbb{A}</math>| integrand =<math>\mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{a}' = \frac{Q}{\epsilon_0} </math>}}；
:其中，<math>\mathbf{E}</math> 为[[电场]]， <math>d\mathbf{a}'</math> 为閉合曲面 <math>\mathbb{A}</math> 的微分面积，由曲面向外定义为其方向，<math>Q</math> 为闭合曲面内的电荷，<math>\epsilon_0</math> 为[[真空電容率]]。
* 其微分形式为：<math>\nabla \cdot \mathbf{E} =\frac{\rho}{\epsilon_0}</math> ；其中，<math>\rho</math> 为电荷密度（单位 C/m<sup>3</sup>）。
* 在线性材料中，等式变为<math>\nabla \cdot \epsilon \mathbf{E} = \rho</math> ；其中<math>\epsilon</math> 为材料的[[電容率]]。

此方程是[[卡尔·高斯]]在1835年提出的，但直到1867年才发布。高斯定律在静电场情况下类比于应用在磁场学的[[安培定律]]，而二者都被集中在[[麦克斯韦方程组]]中。因为数学上的相似性，高斯定律也可以应用于其它由[[反平方定律]]决定的物理量，例如[[引力]]或者[[輻照度]]。参看[[散度定理]]。

== 積分形式 ==
採用[[國際單位制]]，對於空間內的任意體積 <math>\mathbb{V}</math> ，其表面 <math>\mathbb{A}</math> ，真空中的高斯定律的積分形式可以用方程式表達為
:<math>\iint_{\mathbb{A}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{a}'=\frac{Q}{\epsilon_0}</math> ;

其中，<math>\mathbf{E}</math> 为[[电场]]， <math>d\mathbf{a}'</math> 为閉合曲面 <math>\mathbb{A}</math> 的微分面积，由曲面向外定义为其方向，<math>Q</math> 是在體積 <math>\mathbb{V}</math> 內的總電荷數量。

* '''電通量''' <math>\Phi_{\mathbb{A}}</math> 是穿過曲面 <math>\mathbb{A}</math> 的[[電場線]]數量：
:<math>\Phi_{\mathbb{A}}=\iint_{\mathbb{A}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset\mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{a}'</math> 。
* <math>Q</math> 包括[[自由電荷]]和[[束縛電荷]]（在[[電介質]]內，因[[電極化強度]]而產生的電荷）。
* <math>\epsilon_0</math> 是[[真空電容率]]。

=== 應用 ===
{{main|高斯曲面}}

給予空間的某個區域內，任意位置的電場。原則上，應用高斯定律，可以很容易地計算出電荷的分佈。只要積分電場於任意區域的表面，再乘以真空電容率，就可以得到那區域內的電荷數量。

但是，更常遇到的是逆反問題。給予電荷的分佈，求算在某位置的電場。這問題比較難解析。雖然知道穿過某一個閉合曲面的電通量，這資料仍舊不足以解析問題。在閉合曲面任意位置的電場可能會是非常的複雜。

假若，問題本身顯示出某種對稱性，促使在閉合曲面位置的電場大小變得均勻。那麼，就可以藉著這均勻性來計算電場。像圓柱對稱、平面對稱、球對稱等等，這些空間的對稱性，都能幫助高斯定律來解析問題。若想知道怎樣利用這些對稱性來計算電場，請參閱[[高斯曲面]]（{{lang|en|Gaussian surface}}）。

== 微分形式 ==
高斯定律的方程式的微分形式為
:<math>\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0} </math> 。

其中 <math>\rho</math> 为[[体电荷密度]]，<math>\epsilon_0</math> 为[[真空电容率]]。

在數學裏，高斯定律的微分形式等價於其積分形式。這等價關係可以用[[散度定理]]來證明。

== 自由電荷的高斯定律 ==
=== 自由電荷與束縛電荷 ===
{{main|電極化}}

自由電荷是自由移動，不被束縛於[[原子]]或[[分子]]內的電荷；而束縛電荷則是束縛於原子或分子內的電荷。當遇到涉及[[電介質]]的問題時，才需要考慮到束縛電荷所產生的效應。當電介質被置入於外電場時，電介質內的束縛電荷會被外電場影響，雖然仍舊束縛於其微觀區域（原子或分子），但會做微小位移。所有這些微小位移的貢獻造成了宏觀的電荷分佈的改變。

雖然微觀而言，不論是自由電荷，還是束縛電荷，本質上都是電荷。實際而言，對於某些案例，使用自由電荷的概念可以簡化問題的解析。但有時候，由於問題比較複雜，缺乏對稱性，必需採用其它方法來解析問題。

=== 積分形式 ===
對於空間內的任意體積 <math>\mathbb{V}</math> ，其表面 <math>\mathbb{A}</math> ，這個高斯定律表述，可以用積分形式的方程式表達為
:<math>\iint_{\mathbb{A}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset\mathbf{D}\cdot \mathrm{d}\mathbf{a}'=Q_{\mathrm{free}}</math> ;

其中，<math>\mathbf{D}</math> 为[[电位移]]， <math>d\mathbf{a}'</math> 为閉合曲面 <math>\mathbb{A}</math> 的微分面积，由曲面向外定义为其方向，<math>Q_{\mathrm{free}}</math> 是在體積 <math>\mathbb{V}</math> 內的自由電荷數量。

=== 微分形式 ===
只涉及自由電荷，這個高斯定律表述的微分形式可以表達為
:<math>\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{D} = \rho_{\mathrm{free}}</math>    

其中，<math>\rho_{\mathrm{free}}</math> 是自由電荷密度，完全不包括束縛電荷。

請注意，在某種狀況下，雖然區域內可能沒有自由電荷，<math>\rho_{\mathrm{free}}=0</math> 。但是，這並不表示电位移等於 0 。因為，
:<math>\mathbf{D}=\epsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}</math> ；

其中，<math>\mathbf{P}</math> 是[[電極化強度]]。

取[[旋度]]於方程式的兩邊，
:<math>\mathbf{\nabla}\times\mathbf{D}=\mathbf{\nabla}\times\epsilon_0 \mathbf{E} +\mathbf{\nabla}\times \mathbf{P}=\mathbf{\nabla}\times \mathbf{P}</math> 。

所以，电位移很可能不等於 0 。最典型的例子是[[永電體]]。

在數學裏，高斯定律的微分形式等價於其積分形式。這等價關係可以用[[散度定理]]來證明。

=== 等價證明 ===
:{| class="toccolours collapsible collapsed" width="80%" style="text-align:left"
!兩種高斯定律數學等價的證明<!--refer to Maxwell equations-->
|-
|本段落證明高斯定律對於總電荷的方程式
:<math>\nabla\cdot \mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0</math> ，
等價於高斯定律對於自由電荷的方程式
:<math>\nabla\cdot\mathbf{D} = \rho_{f}</math> 。

請注意，這裏只處理微分形式，不處理積分形式。這已達成足夠條件。因為，根據[[散度定理]]，兩種高斯定律的方程式，其微分形式都分別等價於積分形式。

電位移 <math>\mathbf{D}</math> 的定義式為
:<math>\mathbf{D}\ \stackrel{def}{=}\ \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}</math> ；

其中，<math>\mathbf{P}</math> 是[[電極化強度]]。
 
束縛電荷密度 <math>\rho_{bound}</math> 的定義式為（請參閱[[電極化]]）
:<math>\rho_{bound}\ \stackrel{def}{=}\  - \nabla\cdot \mathbf{P}</math> 。

注意到 <math>\rho</math> 是總電荷密度：
:<math>\rho =\rho_{free}+\rho_{bound}=\rho_{free} - \nabla\cdot \mathbf{P}=\rho_{free} -  \nabla\cdot\mathbf{D}+\varepsilon_0\nabla\cdot \mathbf{E}</math>  。

稍加編排，
:<math>\rho- \varepsilon_0\nabla\cdot \mathbf{E}=\rho_{free} -  \nabla\cdot\mathbf{D}</math>  。

所以，<math>\nabla\cdot \mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0</math> 若且維若 <math>\nabla\cdot\mathbf{D} = \rho_{free}</math> 。兩個方程式等價<ref name="Griffiths1998">{{citation| author=Griffiths, David J.|title=Introduction to Electrodynamics (3rd ed.)| publisher=Prentice Hall |year=1998|pages = pp. 326-333|isbn=0-13-805326-X}}</ref>。
|}

=== 線性電介質 ===
線性電介質有一個簡單良好的性質，其 <math>\mathbf{D}</math> 和 <math>\mathbf{E}</math> 的關係方程式為
:<math>\epsilon \mathbf{E}=\mathbf{D}</math> ；

其中，<math>\epsilon</math> 是物質的[[電容率]]。

對於線性電介質，又有一對等價的高斯定律表述：
:<math>\iint_{\mathbb{A}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{a}'=\frac{Q_{\mathrm{free}}}{\epsilon}</math> 、
:<math>\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho_{\mathrm{free}}}{\epsilon}</math> 。

== 高斯定律與庫侖定律的關係 ==
=== 從庫侖定律推導高斯定律 ===
[[庫侖定律]]闡明，一個固定的點電荷的電場是
:<math>\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{q'}{4\pi \epsilon_0} \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}</math> ；

其中，<math>q'</math> 是點電荷，<math>\mathbf{r}</math> 是電場位置，<math>\mathbf{r}'</math> 是點電荷位置。

根據這方程式，計算位於 <math>\mathbf{r}'</math> 的無窮小電荷元素所產生的位於 <math>\mathbf{r}</math> 的電場，積分體積曲域 <math>\mathbb{V}</math> 內所有的無窮小電荷元素，可以得到電荷分佈所產生的電場：
:<math>\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int_{\mathbb{V}} \rho(\mathbf{r}')\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \mathrm{d}^3 \mathbf{r}'</math> 。

取這方程式兩邊對於 <math>\mathbf{r}</math> 的[[散度]]：
:<math>\nabla\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int_{\mathbb{V}}\rho(\mathbf{r}') \nabla\cdot\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \mathrm{d}^3 \mathbf{r}'</math> 。

注意到
:<math>\nabla\cdot\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} = 4\pi \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}')</math> ；

其中，<math> \delta(\mathbf{r})</math>是[[狄拉克δ函數]]。

所以，<math>\mathbf{E}(\mathbf{r})</math> 的散度是
:<math>\nabla\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{\epsilon_0} \int_{\mathbb{V}} \rho(\mathbf{r}')\ \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}')\ \mathrm{d}^3 \mathbf{r}'</math> 。

利用狄拉克δ函數的挑選性質，可以得到高斯定律的微分形式：
:<math>\nabla\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \rho(\mathbf{r})/\epsilon_0</math> 。

由於庫侖定律只能應用於固定不動的電荷，對於移動電荷，這導引不能証明高斯定律成立。事實是，對於移動電荷，高斯定律也成立。所以，從這角度來看，高斯定律比庫侖定律更一般化。

=== 從高斯定律推導庫侖定律 ===
嚴格地說，從高斯定律不能數學推導出庫侖定律，高斯定律並沒有給出任何關於電場的旋度的資料（參閱[[亥姆霍茲定理]]和[[法拉第電磁感應定律]]）。但是，假若能夠添加一個對稱性假定，即電荷造成的電場是[[球對稱]]的（就像庫侖定律本身一樣，在固定不動電荷的狀況，這假設是正確的；在移動電荷的狀況，這假設是近乎正確的），那麼，就可以從高斯定律推導出庫侖定律。

高斯定律的方程式為
: <math>\iint_{\mathbb{A}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset\mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\mathbf{a}' = Q/\epsilon_0</math> 。

設定高斯定律積分的曲面 <math>\mathbb{A}</math> 為一個半徑 <math>r</math> 圓球面，圓心位置在電荷 <math>Q</math> 的位置。那麼，由於球對稱性，<math>\mathbf{E}=E(r)\hat{\mathbf{r}}</math> ，<math>E(r)</math> 與 <math>d\mathbf{a}'</math> 無關，可以將 <math>E(r)</math> 從積分內提出：
: <math>\iint_{\mathbb{A}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset\mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\mathbf{a}' =E(r)\iint_{\mathbb{A}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset\hat{\mathbf{r}}\cdot \mathrm{d}\mathbf{a}'=E(r)\iint_{\mathbb{A}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset\mathrm{d}a=4\pi r^2E(r)=Q/\epsilon_0</math> 。

所以，庫侖定律成立：
: <math>\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0} \frac{\hat{\mathbf{r}}}{r^2}</math> 。

== 參閱 ==
* [[卡爾·高斯]]
* [[鏡像法]]
* [[恩绍定理]]（{{lang|en|Earnshaw's theorem}}）
* [[格林互反定理]]（{{lang|en|Green's reciprocity theorem}}）
* [[多極展開]]（{{lang|en|multipole expansion}}）

== 參考文獻 ==
{{Reflist|2}}
* {{cite book|last=Jackson|first=John David|title=Classical Electrodynamic|publisher = John Wiley & Sons, Inc. |year=1999|location=USA|edition=3rd.|isbn=978-0-471-30932-1}}

== 外部連結 ==
* 麻省理工學院物理系影視教學系列：[https://web.archive.org/web/20080628181946/http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Physics/8-02Electricity-and-MagnetismSpring2002/VideoAndCaptions/ 電磁學] 

{{电磁学}}
[[Category:卡尔·弗里德里希·高斯]]
[[Category:物理定律|G]]
[[Category:静电学|G]]
[[Category:電磁學|G]]
[[Category:向量分析|G]]