查看“高斯求积”的源代码

{{unreferenced|time=2011-12-04T10:40:40+00:00}}
{{Distinguish|高斯積分}}
'''高斯求積'''(Gaussian quadrature)，又稱'''高斯數值積分'''，是以[[德国]][[数学家]][[卡尔·弗里德里希·高斯]]所命名的一种[[数值积分]]中的求积规则。当我们要求解某个函数的积分<math>\int_{-1}^{1}f(x) dx</math>
，其数值解可以由<math>\sum_{i=1}^n w_i f(x_i)</math>近似，其中<math>w_i, i = 1 ... n</math>为权重。高斯求积仅当函数<math>f(x)</math>可以由在区间<math>[-1,1]</math>上的[[多项式]]近似时才能获得准确的近似解，且这种方法并不适用于函数具有奇异点的情况。于是乎，我们可以把函数<math>f(x)</math>写作<math>f(x) = W(x)g(x)</math>，其中<math>g(x)</math>是近似多项式，<math>W(x)</math>是已知的权重函数，这样我们就有

:<math>
\int_{-1}^1 f(x) dx = \int_{-1}^1 W(x)g(x)dx \approx \sum_{i=1}^n w_i'g(x_i)
</math>。

常用的权重函数有
:<math>
W(x) = (1 - x^2)^{-1/2}
</math>（高斯切比雪夫）
以及
:<math>
W(x) = e^{-x^2}
</math>（高斯埃米特）。

==高斯勒让得求积==

对于上述的最简单的积分形式，即权重函数<math>W(x)=1</math>时，关联多项式为[[勒壤得多項式|勒让得多项式]]<math>P_n(x)</math>，这种方法通常称为高斯勒让德求积，此时权重函数为下式，
:<math>
w_i = \frac{2}{(1-x_i^2)[P_n'(x_i)^2]}
</math>
<math>x_i</math>為<math>P_n(x)</math>的第<math>i</math>個根。
:<math>
P_n(x) = \prod_{1\le i\le n}(x-x_i)
</math>

对于求解低阶积分，选择的点的数目、位置和权重如下表所示。
{| class="wikitable" style="margin:auto; background:white;"
! 点的数目, ''n'' !! 点的位置, ''x''<sub>''i''</sub> !! 权重, ''w''<sub>''i''</sub>
|- align="center"
| 1 || 0 || 2
|- align="center"
| 2 || <math>\pm 1/\sqrt{3}</math> || 1
|- align="center"
| rowspan="2" | 3 || 0 || <sup>8</sup>⁄<sub>9</sub>
|- align="center"
| <math>\pm\sqrt{3/5}</math> || <sup>5</sup>⁄<sub>9</sub>
|- align="center"
| rowspan="2" | 4 || <math>\pm\tfrac{\sqrt{ 525 - 70\sqrt{30}}}{35}</math> || <math>\tfrac{18+\sqrt{30}}{36}</math>
|- align="center"
| <math>\pm\tfrac{\sqrt{ 525 + 70\sqrt{30}}}{35}</math>  || <math>\tfrac{18-\sqrt{30}}{36}</math>
|- align="center"
| rowspan="3" | 5 || 0 || <sup>128</sup>⁄<sub>225</sub>
|- align="center"
| <math>\pm\tfrac{\sqrt{245-14\sqrt{70}}}{21}</math> || <math>\tfrac{322+13\sqrt{70}}{900}</math>
|- align="center"
| <math>\pm\tfrac{\sqrt{245+14\sqrt{70}}}{21}</math> || <math>\tfrac{322-13\sqrt{70}}{900}</math>
|}

==变区间法则==

在使用高斯求积的时候必须要将积分区间<math>[a, b]</math>变换到<math>[-1, 1]</math>，可利用[[换元积分法|變數變換]]得：

:<math>
\int_a^b f(x)\,dx = \frac{b-a}{2} \int_{-1}^1 f\left(\frac{b-a}{2}x 
+ \frac{a+b}{2}\right)\,dx 
</math>

對應的高斯求積近似式为

:<math>
\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2} \sum_{i=1}^n w_i f\left(\frac{b-a}{2}x_i + \frac{a+b}{2}\right)
</math>

==其他形式==
对于如下的通用积分式来说，

:<math>
\int_b^a w(x) f(x) dx
</math>

当<math>a = -1</math>，<math>b = 1</math>，<math>w(x)=1</math>时，即为上述内容。我们还可以用别的积分规则，如下表所示。

{| class="wikitable" style="margin:auto; background:white;"
! 区间 !! ω(''x'') !! 正交多项式
|- align="center"
| [−1, 1]             || <math>1\,</math> || [[勒让德多项式]]
|- align="center"
| (−1, 1)             || <math>(1-x)^\alpha (1+x)^\beta,\quad \alpha, \beta > -1\,</math> || [[雅可比多项式]]
|- align="center"
| (−1, 1)             || <math>\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}</math> || [[切比雪夫多项式]] (第一类)
|- align="center"
| [−1, 1]             || <math>\sqrt{1 - x^2}</math> || 切比雪夫多项式 (第二类)
|- align="center"
| [0, ∞)        || <math> e^{-x}\, </math> || [[拉盖尔多项式]]
|- align="center"
| (−∞, ∞) || <math> e^{-x^2} </math> || [[埃尔米特多项式]]
|}


[[Category:数值积分]]