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{{NoteTA|G1=Math}}
'''高過剩數'''（{{lang|en|'''highly abundant number'''}}）是指一[[正整數]]．其[[除數函數]]（含本身的所有因數和）大於所有較小正整數的除數函數。

高過剩數及一些有類似特性的整數最早是由{{link-en|皮萊|Subbayya Sivasankaranarayana Pillai}}在1943年提出的<ref name="Pillai"/>，{{link-en|萊昂尼達斯·Alaoglu|Alaoglu}}及[[保羅·艾狄胥]]進行了一些相關的研究．列出了所有小於10<sup>4</sup>的高過剩數，並證明小於整數''N''的高過剩數個數至少和log<sup>2</sup> ''N''成正比。他們也證明了7200是高過剩數中最大的[[冪數]]，也是其有奇數個因數的最大高過剩數<ref name="Alaoglu"/>。

== 定義及舉例 ==

自然數''n''為高過剩數，[[若且唯若]]對於所有小於''n''的自然數''m''，下式恆成立：

:<math>\sigma(n) > \sigma(m)</math>

其中σ為[[除數函數]]。

頭幾個高過剩數為：
:[[1]], [[2]], [[3]], [[4]], [[6]], [[8]], [[10]], [[12]], [[16]], [[18]], [[20]], [[24]], [[30]], [[36]], [[42]], [[48]], [[60]], ... {{OEIS|id=A002093}}.

以5為例，σ(5) = 5+1 = 6小於σ(4) = 4 + 2 + 1 = 7，因此5不是高過剩數，而σ(8) = 8 + 4 + 2 + 1 = 15大於所有較小[[正整數]]的除數函數，因此8是高過剩數。

==和其他整數的關係==

雖然前8個階乘的結果都是高過剩數，不過不是所有[[階乘]]的結果均為高過剩數
:&sigma;(9!) = &sigma;(362880) = 1481040,
但有數字較9!小，而除數函數比&sigma;(9!)大
:&sigma;(360360) = 1572480,
因此9!不是高過剩數。

Alaoglu及保羅·艾狄胥發現所有的[[超過剩數]]都是高過剩數，因此提出一個問題：是否存在著無限多個不是[[超過剩數]]的高過剩數。數學家尼可拉斯在1969年證實了上述的問題<ref name="Nicolas"/>。

高過剩數和[[過剩數]]名稱中都有「過剩數」一詞，其中也有一些數字重覆，但不是所有的高過剩數都是[[過剩數]]，前7個高過剩數都不是過剩數，也不是所有的過剩數都是高過剩數，例如數字[[40]]為過剩數，不是高過剩數。

== 參考資料 ==
{{reflist | refs = 
<ref name="Pillai">{{cite journal
 | author = Pillai, S. S.
 | title = Highly abundant numbers
 | journal = Bull. Calcutta Math. Soc.
 | volume = 35
 | year = 1943
 | pages = 141–156
 | mr = 0010560 }}
</ref>
<ref name="Alaoglu">{{cite journal
 | author = Alaoglu, L.; Erdős, P.
 | title = On highly composite and similar numbers
 | journal = Transactions of the American Mathematical Society
 | volume = 56
 | year = 1944
 | pages = 448–469
 | mr = 0011087 
 | doi = 10.2307/1990319
 | issue = 3
 | jstor = 1990319}}
</ref>
<ref name="Nicolas">*{{cite journal
 | author = Nicolas, Jean-Louis
 | title = Ordre maximal d'un élément du groupe ''S<sub>n</sub>'' des permutations et "highly composite numbers"
 | journal = Bull. Soc. Math. France
 | volume = 97
 | year = 1969
 | pages = 129–191
 | mr = 0254130 
 | url = http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1969__97__129_0}}
</ref>
}}
{{Divisor classes navbox}}


[[Category:除數函數]]
[[Category:整数数列|G]]