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在[[數學]]中，'''魏爾斯特拉斯橢圓函數'''（Weierstrass's elliptic functions）又稱 p 函數並且以 <math>\wp</math> 符號表示，是格外簡單的一類[[橢圓函數]]，也是[[雅可比橢圓函數]]的特殊形式。[[卡爾·魏爾斯特拉斯]]首先研究了這些函數。

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[[Image:Weierstrass p.svg|100px|Symbol for Weierstrass P function]]<div class="thumbcaption">
魏爾斯特拉斯p函數的符號
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==定義==
固定 <math>\mathbb{C}</math> 中的格 <math>\Lambda = \mathbb{Z}\omega_1 \oplus \mathbb{Z}\omega_2</math>（ <math>\omega_1, \omega_2 \in \mathbb{C}</math> 在 <math>\mathbb{Q}</math> 上線性無關），對應的魏爾斯特拉斯橢圓函數定義是
:<math>
\wp(z; \Lambda)=\frac{1}{z^2}+
\sum_{(m,n) \ne (0,0)} 
\left\{
\frac{1}{(z-m\omega_1-n\omega_2)^2}-
\frac{1}{\left(m\omega_1+n\omega_2\right)^2}
\right\}
</math>。

顯然右式只與格 <math>\Lambda\,</math> 相關，無關於基 <math>\omega_1, \omega_2\,</math> 之選取。<math>\Lambda\,</math> 的元素也稱作週期。

另一方面，格 <math>\Lambda\,</math> 在取適當的全純同態 <math>\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> 後可表成 <math>\Lambda = \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}\tau</math>，其中 <math>\tau\,</math> 屬於上半平面。對於這種形式的格，
:<math>\wp(z; \Lambda) = \wp(z;\tau) =\frac{1}{z^2} + \sum_{n^2+m^2 \ne 0}{1 \over (z-n-m\tau)^2} - {1 \over (n+m\tau)^2}</math>。

反之，由此亦可導出對一般的格之公式
:<math>\wp(z; \mathbb{Z}\omega_1 \oplus \mathbb{Z}\omega_2) = \frac{\wp(\frac{z}{\omega_1}; \frac{\omega_2}{\omega_1})}{\omega_1^2} \quad (\mathrm{Im}(\frac{\omega_1}{\omega_2}) > 0)</math>

在數值計算方面，<math>\wp</math> 可以由[[Θ函數]]快速地計算，方程是
:<math>\wp(z; \tau) = \pi^2 \vartheta^2(0;\tau) \vartheta_{10}^2(0;\tau){\vartheta_{01}^2(z;\tau) \over \vartheta_{11}^2(z;\tau)}-{\pi^2 \over {3}}\left[\vartheta^4(0;\tau) + \vartheta_{10}^4(0;\tau)\right]</math>

* 在週期格中的每個點，<math>\wp</math> 有二階[[极点_(复分析)|极点]]。
* <math>\wp</math> 是偶函數。
* 複導函數 <math>\wp'</math> 是奇函數。

==加法定理==
:<math>
\det\begin{pmatrix}
\wp(z) & \wp'(z) & 1\\
\wp(y) & \wp'(y) & 1\\
\wp(z+y) & -\wp'(z+y) & 1
\end{pmatrix}=0</math>

假設 <math>u+v+w=0</math>，上式有一個較對稱的版本
:<math>
\det\begin{pmatrix}
\wp(u) & \wp'(u) & 1\\
\wp(v) & \wp'(v) & 1\\
\wp(w) & \wp'(w) & 1
\end{pmatrix}=0</math>

此外
:<math>
\wp(z+y)=\frac{1}{4}
\left\{
\frac{\wp'(z)-\wp'(y)}{\wp(z)-\wp(y)}
\right\}^2
-\wp(z)-\wp(y).</math>

魏爾斯特拉斯橢圓函數滿足複製公式：若 <math>2z </math> 不是週期，則
:<math>
\wp(2z)=
\frac{1}{4}\left\{
\frac{\wp''(z)}{\wp'(z)}\right\}^2-2\wp(z),</math>

==微分方程與積分方程==
定義 <math>g_2, g_3</math>（依賴於 <math>\Lambda</math>）為
: <math>g_2 := 60 \sum_{w \in \Lambda}'  w^{-4}</math>
: <math>g_3 := 120 \sum_{w \in \Lambda}' w^{-6}</math>
求和符號 <math>\sum'_w</math> 意謂取遍所有非零的 <math>w</math>。當 <math>\Lambda = \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}\tau</math> 時，它們可由[[艾森斯坦級數]] <math>G_4, G_6</math> 表示。

則魏爾斯特拉斯橢圓函數滿足微分方程
:<math> \wp'(z)^2=4\wp(z)^3-g_2\wp(z)-g_3 </math>。
故 <math>z \mapsto (\wp(z),\wp'(z))</math> 給出了從複環面 <math>\mathbb{C}/\Lambda</math> 映至三次複射影曲線 <math>y^2 = 4x^3 - g_2 x -g_3</math> 的全純映射；可證明這是同構。

另一方面，將上式同除以 <math>\wp'</math>，積分後可得
:<math>z_1 - z_2 = \int_{\wp(z_1)}^{\wp(z_2)} \frac {ds} {\sqrt{4s^3 - g_2s -g_3}}</math>。
右側是複平面上的路徑積分，對不同的路徑 <math>\wp(z_1) \to \wp(z_2)</math>，其積分值僅差一個 <math>\Lambda</math> 的元素；所以左式應在複環面 <math>\mathbb{C}/\Lambda</math> 中考慮。在此意義下，魏爾斯特拉斯橢圓函數是某類[[橢圓積分]]之逆。

==模判別式==
續用上節符號，'''模判別式''' <math>\Delta</math> 定義為下述函數
:<math>\Delta=g_2^3-27g_3^2.</math>

視為週期格的函數，這是權 12 之[[模形式]]。模判別式也可以用[[戴德金η函數]]表示。

==文獻==
* Naum Illyich Akhiezer, ''Elements of the Theory of Elliptic Functions'', (1970) Moscow, translated into English as ''AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79'' (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
* Tom M. Apostol, ''Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition'' (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0 ''(See chapter 1.)'' 
* K. Chandrasekharan, ''Elliptic functions'' (1980), Springer-Verlag ISBN 0-387-15295-4
* Serge Lang, ''Elliptic Functions'' (1973), Addison-Wesley, ISBN 0-201-04162-6
* E. T. Whittaker and G. N. Watson,  ''A course of modern analysis'' (1952), Cambridge University Press, chapters 20 and 21

==外部連結==
* [http://mathworld.wolfram.com/WeierstrassEllipticFunction.html Weierstrass's elliptic functions on Mathworld].
* [https://web.archive.org/web/20080223153027/http://www.mai.liu.se/~halun/complex/elliptic/ Elliptic functions, Hans Lundmark's Complex analysis page].

[[Category:模形式|W]]
[[Category:橢圓函數|W]]