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数学中，'''麦克劳林不等式'''（{{lang|en|Maclaurin's inequality}}），以[[科林·麦克劳林]]冠名，是[[算术几何平均不等式]]的加细。

设 ''a''<sub>1</sub>,&nbsp;''a''<sub>2</sub>,&nbsp;...,&nbsp;''a''<sub>''n''</sub> 是[[负数|正]][[实数]]，对 ''k''&nbsp;=&nbsp;1,&nbsp;2,&nbsp;...,&nbsp;''n'' 定义平均 ''S''<sub>''k''</sub> 为
:<math> S_k = \frac{\displaystyle \sum_{ 1\leq i_1 < \cdots < i_k \leq n}a_{i_1} a_{i_2} \cdots a_{i_k}}{\displaystyle {n \choose k}}.</math>

这个分式的分子是度数为 ''n'' 变元 ''a''<sub>1</sub>,&nbsp;''a''<sub>2</sub>,&nbsp;...,&nbsp;''a''<sub>''n''</sub>   的 ''k'' 阶[[基本对称多项式]]，即 ''a''<sub>1</sub>,&nbsp;''a''<sub>2</sub>,&nbsp;...,&nbsp;''a''<sub>''n''</sub> 中指标递增的任意 ''k'' 个数乘积之和。分母是分子的项数，[[二项式系数]] <math>\scriptstyle {n\choose k}</math>。

麦克劳林不等式是如下[[不等式]]链：

:<math> S_1 \geq \sqrt{S_2} \geq \sqrt[3]{S_3} \geq \cdots \geq \sqrt[n]{S_n}</math>

等号成立当且仅当所有 ''a''<sub>''i''</sub> 相等。

对 ''n''&nbsp;=&nbsp;2，这个给出两个数通常的几何算术平均不等式。''n''&nbsp;=&nbsp;4 的情形很好地展示了麦克劳林不等式:

: <math>
\begin{align}
& {} \quad \frac{a_1+a_2+a_3+a_4}{4} \\  \\
& {} \ge \sqrt{\frac{a_1a_2+a_1a_3+a_1a_4+a_2a_3+a_2a_4+a_3a_4}{6}} \\  \\
& {} \ge \sqrt[3]{\frac{a_1a_2a_3+a_1a_2a_4+a_1a_3a_4+a_2a_3a_4}{4}} \\  \\
& {} \ge \sqrt[4]{a_1a_2a_3a_4}.
\end{align}
</math>

==证明==
麦克劳林不等式可用[[牛顿不等式]]证明。证明的思路是运用[[归纳法]]：

*首先证明
*:<math> S_1 \geq \sqrt{S_2}</math>
*:也就是：<math> (n-1)(\sum_{k=1}^n a_k)^2 \geq 2n \sum_{1 \leq i < j \leq n}^n a_i a_j</math>。
*:这个式子等价于<math> (n-1)\sum_{k=1}^n a_k^2 \geq 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n}^n a_i a_j</math>，
*:也就是：<math> \sum_{1 \leq i < j \leq n}^n (a_i - a_j)^2 \geq 0</math>。因此成立。

*其次，假设对某个<math> k \geq 2</math>，已经证明了<math>\sqrt[k-1]{S_{k-1}} \geq \sqrt[k]{S_{k}}</math>，那么也就等于说证明了：
*:<math> S_{k-1}^k \geq S_k^{k-1}</math>
*:牛顿不等式说明，还有：<math> S_{k}^2 \geq S_{k+1} S_{k-1}</math>
*:这个不等式两边作''k'' 次[[乘幂]]，就得到：<math> S_{k}^{2k} \geq S_{k+1}^k S_{k-1}^k</math>
*:从而：<math> S_{k}^{2k} \geq S_{k+1}^k S_k^{k-1}</math>
*:<math> S_{k}^{k+1} \geq S_{k+1}^k</math>
*:<math>\sqrt[k]{S_{k}} \geq \sqrt[k+1]{S_{k+1}}</math>

于是，综上所述，可以证明对所有的<math>1 \leq k \leq n-1</math>，都有：
<center><math>\sqrt[k]{S_{k}} \geq \sqrt[k+1]{S_{k+1}}</math></center>
麦克劳林不等式得证。

==参见==

* [[牛顿不等式]]
* [[Muirhead不等式]]
* [[广义平均不等式]]

==参考==

*{{cite book
 | last       = Biler
 | first      = Piotr
 | coauthors  = Witkowski, Alfred
 | title      = Problems in mathematical analysis
 | publisher  = New York, N.Y.: M. Dekker
 | date       = 1990
 | pages      = 
 | isbn       = 0824783123
}}

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{{planetmath|id=3835|title=MacLaurin's Inequality}}

[[Category:实分析]]
[[Category:不等式]]
[[Category:对称函数]]