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在[[微分几何]]中，'''黎曼曲率张量'''或'''黎曼張量'''是表达[[黎曼流形]]的曲率的标准方式，更普遍的，它可以表示有[[仿射联络]]的[[流形]]的曲率
,包括无扭率或有[[聯絡的撓率|撓率]]的。曲率张量通过[[列维-奇维塔联络]](更一般的，一个[[仿射联络]])<math>\nabla</math>(或者叫[[协变导数]])由下式给出:

:<math>R(u,v)w=\nabla_u\nabla_v w - \nabla_v \nabla_u w -\nabla_{[u,v]} w .</math>

这里<math>R(u,v)</math>是一个流形切空间的线性变换；它对于每个参数都是线性的。

'''注意'''有些作者用相反的符号定义曲率.

如果<math>u=\partial/\partial x_i</math> 与 <math>v=\partial/\partial x_j</math> 是坐标向量场则<math>[u,v]=0</math>所以公式简化为 

:<math>R(u,v)w=\nabla_u\nabla_v w - \nabla_v \nabla_u w  </math>

也就是说曲率张量衡量''协变导数的反交换性''。

线性变换<math>w\mapsto R(u,v)w</math>也称'''曲率变换'''。

== 對稱性和恆等式 ==
进一步,由上式定义了如下的三重线性映射
*<math> R:(w,u,v)\rightarrow R(u,v)w, </math>
映射<math>R</math>关于每一个自变量都是<math>C^\infty</math>线性的, 故<math> R </math>是<math>M</math>上的<math>(1,3)</math>型光滑张量场, 称之为纺射联络空间<math>(M,\nabla)</math>的曲率张量.
在坐标向量场下，<math> R </math> 可以表示为
*<math> R=R_{kij}^l dx^k\otimes\frac{\partial}{\partial x^l}\otimes dx^i \otimes dx^j .</math> 
还可以定义四重线性映射，如下
*<math> R:(w,z,u,v)\rightarrow g(R(u,v)w,z),</math>
则映射 <math>R</math>关于每一个自变量都是<math>C^\infty</math> 线性的, 故<math> R </math>是黎曼流形<math> (M,g) </math>上的 <math>(0,4)</math> 型光滑张量场, 称之为黎曼流形 <math> (M,g) </math> 的黎曼曲率张量. 在坐标向量场下, <math> R </math> 可以表示为
*<math> R=R_{klij} dx^k\otimes dx^l\otimes dx^i \otimes dx^j .</math> 

*注：上述纺射联络空间 <math>(M,\nabla)</math>上的曲率张量 <math> R </math>与黎曼流形 <math> (M,g) </math> 上的黎曼曲率张量 <math> R </math> 是同一个对象的不同表现形式.
*注 <math> R_{klij}=g_{lm}R_{kij}^m</math>. 

黎曼曲率张量有如下的对称性:

* <math>R(u,v)=-R(v,u)^{}_{}</math>
* <math>\langle R(u,v)w,z \rangle=-\langle R(u,v)z,w \rangle^{}_{}</math>
* <math>R(u,v)w+R(v,w)u+R(w,u)v=0 ^{}_{}</math>

最后一个恒等式由[[格雷戈里奥·里奇-库尔巴斯托罗|里奇]]发现,但是称为'''第一比安基恒等式'''(First Bianchi identity)或'''代数比安基恒等式'''(Algebraic Bianchi identity)，因为和下面的比安基恒等式相像。

这三个恒等式组成曲率张量对称性的完整列表，也就是给定说任何满足上述恒等式的张量，可以找到一个黎曼流形在某点的曲率张量和它一样。简单的计算表明这样一个张量有<math>n^2(n^2-1)/12</math>个独立分量。

另一个有用的恒等式可以由上面这些导出:
:<math>\langle R(u,v)w,z \rangle=\langle R(w,z)u,v \rangle^{}_{}</math>

'''比安基恒等式'''(Bianchi identity)，经常也叫'''第二比安基恒等式'''(Second Bianchi identity)或'''微分比安基恒等式'''(Differential Bianchi identity)。它涉及到协变导数:
:<math>\nabla_uR(v,w)+\nabla_vR(w,u)+\nabla_w R(u,v) = 0</math>

给定流形某点的任一[[坐标]]表示，上述恒等式可以用黎曼曲率张量的分量形式表示为:
* <math>R_{abcd}=-R_{bacd} \,</math>
* <math>R_{abcd}=R_{cdab} \,</math>

* 第一（代數）比安基恒等式：<math>R_{abcd} + R_{adbc} + R_{acdb} =0 \,</math>或等價地寫為<math>R_{a[bcd]}=0 \,</math>

* 第二（微分）比安基恒等式：<math>\nabla_e R_{abcd} + \nabla_d R_{abec} + \nabla_c R_{abde} =0 \,</math>或等價地寫為<math>R_{ab[cd;e]}=0 \,</math>

其中方括号表示对下标的[[反對稱化]]，分号表示[[协变导数]]。这些恒等式在物理中有应用，特别是[[广义相对论]]。

== 相關條目 ==
*[[黎曼流形的曲率]]
*[[截面曲率]]
*[[曲率形式]]

== 外部連結 ==
* {{en}}Wolfram MathWorld —— [http://mathworld.wolfram.com/RiemannTensor.html Riemann Tensor]、[http://mathworld.wolfram.com/BianchiIdentities.html Bianchi identity]、[http://mathworld.wolfram.com/ContractedBianchiIdentities.html Contracted Bianchi identity]

{{曲率}}

[[Category:黎曼几何|L]]

[[Category:廣義相對論所用張量|L]]
[[Category:曲率|L]]