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'''黎曼流形'''（Riemannian manifold）是一個[[微分流形]]，其中每點''p''的[[切空間]]都定義了[[點積]]，而且其數值隨''p''平滑地改變。它容許我們定義弧線長度、角度、面積、體積、[[曲率]]、函數[[梯度]]及[[向量場|向量域]]的[[散度]]。

每個'''R'''<sup>''n''</sup>的平滑[[子流形]]可以导出[[黎曼度量]]：把'''R'''<sup>''n''</sup>的[[點積]]都限制於[[切空間]]內。實際上，根据[[纳什嵌入定理]]，所有黎曼流形都可以這樣产生。

我們可以''定義''黎曼流形為和'''R'''<sup>''n''</sup>的平滑子流形是[[等距同构]]的[[度量空間]]，'''等距'''是指其[[内蕴度量]]（intrinsic metric）和上述从'''R'''<sup>''n''</sup>导出的度量是相同的。这對建立[[黎曼幾何]]是很有用的。

黎曼流形可以定义为平滑流形，其中给出了一个[[切丛]]的正定二次形的光滑截面。它可產生度量空間：

如果γ : [''a'', ''b''] → ''M''是黎曼流形''M''中一段連續可微分的弧線，我們可以定義它的長度''L''（γ）為
:<math>L(\gamma) = \int_a^b \|\gamma'(t)\|\;dt</math>
（注意：γ'（''t''）是切空間''M''在γ（''t''）點的元素；||·||是切空間的內積所得出的[[範數]]。）

使用这个长度的定义，每个[[连通空间|连通]]的黎曼流形''M''很自然的成为一个[[度量空間]]（甚至是[[内蕴度量|長度度量空間]]）：在''x''與''y''兩點之間的距離''d''（''x'', ''y''）定義為：

:''d''(''x'',''y'') = [[下确界|inf]]{ L(γ) : γ是连接''x''和''y''的一条光滑曲线}。

虽然黎曼流形通常是弯曲的，“直線”的概念依然存在：那就是[[測地線]]。

在黎曼流形中，[[測地線]][[完备]]的概念，和[[拓撲]]完备及[[度量空间|度量]]完备是等价的：每个完备性都可以推出其他的完备性，这就是[[Hopf-Rinow定理]]的内容。

== 參看 ==

* [[黎曼幾何]]
* [[芬斯勒流形]]
* [[黎曼子流形]]
* [[假黎曼流形]]

==參考==
* Jurgen Jost, ''Riemannian Geometry and Geometric Analysis'', (2002) Springer-Verlag, Berlin  ISBN 3-540-4267-2 

{{Authority control}}
[[Category:黎曼几何]]
[[Category:微分几何|L]]
[[category:流形上的结构]]