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'''黎曼–罗赫定理'''（{{lang|en|Riemann–Roch theorem}}）是[[数学]]中的一个重要工具，在[[复分析]]和[[代数几何]]中的应用尤为广泛。利用该定理，可计算具有指定零点与[[极点]]的[[亚纯函数]]空间的维数。它将具有纯拓扑[[亏格]] ''g'' 的连通[[紧空间|紧]][[黎曼曲面]]上的复分析以某种方式可转换为纯代数设置。

此定理最初是'''黎曼不等式'''，对黎曼曲面的确定形式由[[黎曼]]早逝的学生[[古斯塔·罗赫]]于1850年代证明。随后推广到[[代数曲面]]，高维[[代数簇]]，等等。

== 一些数据 ==

我们从一个亏格 ''g'' 的连通紧黎曼曲面开始，在上面取定一点 ''P''。我们想知道极点只在 ''P'' 的函数。这是[[向量空间]]的一个递增序列：没有极点的函数（即常值函数），在 ''P'' 有单极点，在 ''P'' 点最多有两个极点，三个极点……这些空间都是有限维的。在 ''g''=0 我们可知维数的序列前几项为

:1, 2, 3, ...: 

这可由[[部分分式]]理论得出。反之，如果此序列开始为
:1, 2, ... 

则 ''g'' 必然是零（所谓[[黎曼球面]]）。

由[[椭圆函数]]理论知，''g''=1 时此序列是

:1, 1, 2, 3, 4, 5 ...

且这也刻画了 ''g''=1 情形。当 ''g'' > 2 时，序列前端不是固定的；但我们可以确定此序列的后端。我们也可以看到为什么 ''g''=2 的情形是特殊的，由[[超椭圆曲线]]理论，其序列开始几项为
:1, 1, 2, ...

这些结论为何具有这种形式可以追溯到此定理的表述（罗赫的部分）：两个维数之差。当其中一个可以为零，我们得到一个确定的公式，对亏格与度数（即自由度的个数）是线性的。这些例子已经可重构出如下形式

:维数 &minus; 修正项 = 度数 &minus; ''g'' + 1。

对 ''g'' = 1，修正项当度数为 0 时是 1；其它情形是 0。整个定理说明修正项是函数空间的一个“补空间”的维数。

== 定理的陈述 ==

用现代记法，亏格为 ''g'' 的紧黎曼曲面与一个典范除子 ''K'' 的黎曼–罗赫定理表述为：

:''l''(''D'') &minus; ''l''(''K'' &minus; ''D'') = ''deg''(''D'') &minus; ''g'' + 1.

这对所有[[除子]] ''D'' 均成立。除子是曲面上点的[[自由阿贝尔群]]中一个元素。等价地，一个除子是曲面上一些点的整系数线性组合。

我们定义一个亚纯函数 ''f'' 的除子为

:<math>(f):=\sum_{z_\nu \in R(f)} s_\nu z_\nu</math>

这里 ''R''(''f'') 是所有零点与极点的集合，而 ''s<sub>ν</sub>'' 定义为

:{|border="0"
|-
|rowspan=2|<math>s_\nu := \begin{cases}\;\;\,a \\-a \end{cases}</math>
|，如果 <math>z_\nu</math> 是一个 <math>a</math> 重零点；
|-
|，如果 <math>z_\nu</math> 是一个 <math>a</math> 阶极点。
|}

我们类似地定义一个亚纯 [[1-形式]]的除子。一个整体亚纯函数的除子叫做主除子。相差一个主除子的两个除子称为[[线性等价]]。一个整体亚纯 1-形式的除子叫做[[典范除子]]（通常记作 ''K''）。任何两个亚纯 1-形式都是线性等价的，所以典范除子在线性等价的意义下是惟一的。

符号 ''deg''(''D'') 表示除子 ''D'' 的度数，即在 ''D'' 中出现的系数之和。可以证明一个整体亚纯函数的除子的度数总是 0，所以除子的度数只取决于线性等价类。

数 ''l''(D) 是首先感兴趣的量：使得 (''h'') + ''D'' 的所有系数都是非负的曲面上亚纯函数 ''h'' 组成的向量空间的维数（在 [[复数|'''C''']] 上）。直觉上，我们可以将其想象为在每一点处的极点不比 ''D'' 中对应系数更坏的所有亚纯函数；如果在 ''z'' 处 ''D'' 的系数是负数，则我们要求 ''h'' 在 ''z'' 处至少有那个[[重数]]的零点；如果 ''D'' 的系数是正数，''h'' 最多有那个阶数的极点。线性等价的除子相应的向量空间通过乘以那个整体亚纯函数（这在差一个常数下是良定义的）是自然同构的。

即便我们对 ''K'' 一无所知，我们知道'''特殊性指标'''（'''index of speciality'''）<ref>Stichtenoth p.22</ref><ref>Mukai pp.295-297</ref>（上文所说的修正项）

:''l''(''K'' &minus; ''D'') &ge; 0, 

所以

:''l''(D) &ge; ''deg''(''D'') &minus; ''g'' + 1

这就是早先提到的'''黎曼不等式'''。

上面定理对所有紧连通黎曼曲面都成立。这个公式对一个[[代数闭域]] ''k'' 上所有非奇异射影代数曲线也成立。这里 ''l''(''D'') 表示在每一点的极点不坏于 ''D'' 中对应系数的曲线上[[有理函数]]空间的维数（在 ''k'' 上）。

为了将其与我们上面的例子联系起来，我们需要 ''K'' 的一些信息：对 ''g''=1 我们可取 ''K''=0，而对 ''g''=0 可取 ''K'' = &minus;2''P'' （任何 ''P''）。一般地 ''K'' 的度数是 2''g'' &minus; 2。只要 ''D'' 的度数至少是 2''g'' &minus; 1 我们可确保修正项是 0。

回到 ''g''= 2 的情形我们可知上面提到的序列是

:1, 1, ?, 2, 3, ... . 

由此知度数为 2 的不确定项是 1 或 2，当然与点的选择有关。可以证明任何亏格为 2 的曲线恰有六个点的序列是 1, 1, 2, 2, ... 而其它一般点的序列是 1, 1, 1, 2, ...。特别地，一个亏格 2 曲线是[[超椭圆曲线]]。对 ''g''>2 几乎所有点的序列以 ''g+1'' 个 1 开始，只有有限个点为其它序列（参见[[魏尔斯特拉斯点]]）。

== 推广 ==

'''曲线的黎曼–罗赫定理'''对黎曼曲面由黎曼与罗赫于1850年代证明，对代数曲线由[[施密特]]于1929年证明。它是基本的，曲线后续理论试图加细它的结论（比如{{tsl|en|Brill–Noether theory|布里尔–诺特理论}}）。

在更高维（适当的定义[[除子]]或[[线丛]]）此定理有多个版本。它们的一般表述取决于将定理分成两部分。其一，现在称为[[塞尔对偶性]]，将 ''l''(''K'' &minus; ''D'') 项解释为第一[[层同调]]群的维数，''l''(''D'') 为零次上同调群（或截面的空间）的维数，定理左边成为一个[[欧拉示性数]]，而右边给出它的计算，正好只与黎曼曲面的拓扑有关的一个度数。

在二维[[代数几何]]中这样一个公式由[[代数几何意大利学派|意大利几何学派]]找到；[[代数曲面的黎曼-罗赫定理]]证明了（有各种版本，最早可能属于[[马克斯·诺特]]。这样的问题大约在1950年前解决了。

''n''-维推广，[[希策布鲁赫–黎曼–罗赫定理]]，由[[弗里德里希·希策布鲁赫]]找到并证明，利用了[[代数拓扑学]]中的[[示性类]]；他深受[[小平邦彦]]的工作影响。大约在同一时间[[让-皮埃尔·塞尔]]给出了塞尔对偶性的一般形式，故我们冠以他的姓氏。

[[亚历山大·格罗滕迪克]]于1957年证明了一个深远的推广，现在叫做[[格罗滕迪克–黎曼–罗赫定理]]。他的工作将黎曼–罗赫重新解释为不仅是关于一个簇的定理，而是关于两个簇之间的一个态射的。证明的细节由博雷尔–塞尔于1958年发表。

最后在[[代数拓扑]]中也找到了一个一般版本。这些发展本质上在1950年至1960年完成。[[阿蒂亚–辛格指标定理]]开启了这一条推广的道路。

它导致的结论是一个[[凝聚层]]相当好计算。如果只对交错和中一项感兴趣，这是通常的情形，必需更进一步的讨论比如{{tsl|en|vanishing theorem|消灭定理}}。

== 参考文献 ==
=== 引用 ===
{{Reflist|30em}}

=== 来源 ===
{{refbegin}}
* Borel, Armand & Serre, Jean-Pierre (1958), Le théorème de Riemann-Roch, d'après Grothendieck, Bull.S.M.F. 86 (1958), 97-136.
* Grothendieck, Alexander, et al. (1966/67), Théorie des Intersections et Théorème de Riemann-Roch (SGA 6), LNM 225, Springer-Verlag, 1971.
* {{cite book | author=William Fulton | authorlink=William Fulton | title=Algebraic Curves | series=Mathematics Lecture Note Series | publisher=W.A. Benjamin | year=1974 | isbn=0-8053-3081-4 }}, available online at [http://www.math.lsa.umich.edu/~wfulton/CurveBook.pdf]
* {{Citation | last1=Jost | first1=Jürgen | title=Compact Riemann Surfaces | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-3-540-33065-3 | year=2006 }}, see pages 208–219 for the proof in the complex situation. Note that Jost uses slightly different notation. 
* {{Citation | last1=Hartshorne | first1=Robin | author1-link=Robin Hartshorne | title=[[Algebraic Geometry (book)|Algebraic Geometry]] | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-90244-9 | oclc=13348052 | id={{MathSciNet | id = 0463157}} | year=1977 }}, contains the statement for curves over an algebraically closed field. See section IV.1.
* {{Citation | last1=Hirzebruch | first1=Friedrich | author1-link=Friedrich Hirzebruch | title=Topological methods in algebraic geometry | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Classics in Mathematics | isbn=978-3-540-58663-0 | id={{MathSciNet | id = 1335917}} | year=1995}}. A good general modern reference.
* {{cite book | author=Shigeru Mukai | authorlink=Shigeru Mukai | coauthors=William Oxbury (translator) | title=An Introduction to Invariants and Moduli | series=Cambridge studies in advanced mathematics | volume=81 | year=2003 | isbn=0-521-80906-1 | publisher=Cambridge University Press | location=New York }}
* {{cite book | author=Henning Stichtenoth | title=Algebraic Function Fields and Codes | publisher=Springer-Verlag | year= 1993 | isbn=3-540-56489-6 }}
*[http://www.math.ucdavis.edu/~kapovich/ Misha Kapovich], [http://www.math.ucdavis.edu/%7Ekapovich/RS/RiemannRoch.pdf ''The Riemann–Roch Theorem] (lecture note) an elementary introduction
* J. Gray, [http://www.emis.de/journals/DMJDMV/xvol-icm/19/Gray.MAN.ps.gz The ''Riemann-Roch theorem and Geometry, 1854-1914''.] 
{{refend}}

[[Category:数学定理|L]]
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[[Category:代数曲线]]
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[[Category:代数几何的拓扑方法]]