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在[[群論]]中，'''點燈夫群'''（{{lang-en|'''Lamplighter group'''}}）是兩個[[群]]<math>\mathbb Z/2\mathbb Z</math>和<math>\mathbb Z</math>的[[圈積]]<math>(\mathbb Z/2\mathbb Z) \wr \mathbb Z</math>，也可以表示為兩個[[群]]<math>\bigoplus_{\mathbb Z} (\mathbb Z/2\mathbb Z)</math>和<math>\mathbb Z</math>的半直積
:<math>\left(\bigoplus_{\mathbb Z} (\mathbb Z/2\mathbb Z)\right)\rtimes \mathbb Z</math>
其中<math>\mathbb Z</math>以平移[[群作用|作用]]於<math>\bigoplus_{\mathbb Z} (\mathbb Z/2\mathbb Z)</math>。

點燈夫群是[[有限生成群]]，不過並非[[群的展示|有限展示]]的。點燈夫群有如下標準展示：
:<math>\langle a, t\mid a^2 , [t^i a t^{-i}, t^j a t^{-j}], i,j\in \mathbb Z \rangle</math>

點燈夫群的名稱來自以下闡釋：假設有一列向左右無限伸延的街燈及一個[[點燈夫]]。每盞街燈有明和暗兩種狀態。起初點燈夫在原點處的街燈下，而所有燈都關了。點燈夫群的元素，可視為對點燈夫的指示：把元素用''a'', ''t''寫成一個字，然後從左到右讀，如果是''a''，點燈夫把面前的街燈點亮或者熄滅；如果是''t''，點燈夫向右移到下一個街燈；如果是''t''<sup>-1</sup>，點燈夫向左移到下一個街燈。這樣每個元素就代表街燈的狀態及點燈夫的位置。<ref>{{cite conference|first= Sean |last=Cleary |coauthors=Taback, Jennifer  |title= Metric properties of the lamplighter group as an automata group|booktitle=Geometric methods in group theory |pages=207-218 |publisher=Amer. Math. Soc. |date= 2005 |location=Providence, RI}}</ref>

點燈夫群特別之處，在於這個群是[[可均群]]（因為是[[可解群]]），卻有[[增長率 (群論)|指數增長率]]。<ref>{{cite journal|title=Random Walks on Discrete Groups: Boundary and Entropy|author=V. A. Kaimanovich and A. M. Vershik|journal=Annals of Probability|year=1983|volume=11|number=3|pages=457-490|url=http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.aop/1176993497|deadurl=yes|archiveurl=https://web.archive.org/web/20160304062103/http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.aop%2F1176993497|archivedate=2016-03-04}}</ref>

==參考==
{{reflist}}

{{代數小作品}}

[[分類:群論]]