查看“齐性空间”的源代码

在[[数学]]，特别是[[李群]]、[[代数群]]与[[拓扑群]]的理论中，关于[[群]]''G''的一个'''齐性空间'''（{{lang|en|homogeneous space}}）是一个非空[[流形]]或[[拓扑空间]]''X''，''G''可传递性作用在''X''上，G中的元素稱之為X的'''對稱'''。一个特例是群''G''就是空间''X''的[[自同构#自同構群|自同構群]]，這裡自同構群可以是[[等距同构|等矩同構群]]、[[微分同胚|微分同肧群]]或是[[同胚|同肧群]]。在這些例子中，如果直觉想成''X''于任何地方局部看起来一样，則''X''是齐性的。像是等矩同構（剛體幾何）、微分同肧（微分幾何）或是同肧（拓撲）。一些作者要求''G''的作用是[[群作用|有效的]]（或忠实），不过本文并不要求这样。从而''X''上存在可以想象为保持''X''上相同“几何结构”的一个群作用，使''X''成为一个单[[轨道 (群论)|''G''-轨道]]。

== 正式定义 ==

设''X''是一个非空集合，''G''是一个群。如果存在''G''在''X''上一个作用，则''X''称为一个''G''-空间<ref>我们假设这个作用在左边。这个区别只在''X''作为一个陪集的描述时才重要。</ref>。注意''G''通过[[自同构]]自动作用在这个集合上。如果''X''还额外属于某一个[[范畴 (数学)|范畴]]，则要求''G''中元素的作用是这个范畴中的自同构。从而由''G''在''X''上产生的映射保持结构。一个齐性空间是一个''G''作用传递的''G''空间。

简明地说，如果''X''是范畴'''C'''中一个对象，则一个''G''-空间结构是''G''到范畴'''C'''中对象''X''的自同构群一个[[同态]]：

: <math>\rho : G \to \mathrm{Aut}_{\mathbf{C}}(X).</math>

若ρ(''G'')是承载集合''X''的一个传递的、对称群，则二元组 (''X'',ρ)定义了一个齐性空间。

=== 例子 ===

例如，若''X''是一个[[拓扑空间]]，则要求群元素在''X''上的作用是[[自同胚]]。''G''-空间的结构是到''X''自同胚群的一个群同态ρ : ''G'' → Homeo(''X'')。

类似地，如果''X''是一个[[微分流形]]，则群元素是[[微分同胚]]。''G''-空间结构是到''X''微分同胚群的一个群同态ρ : ''G'' → Diffeo(''X'')。

== 几何 ==

从[[埃尔朗根纲领]]的观点，可以理解在''X''的[[几何]]中“所有点是一样的”。十九世纪中叶[[黎曼几何]]提出之前的所有几何本质上都是如此。

例如[[欧几里得空间]]、[[仿射空间]]和[[射影空间]]都自然是相应[[对称群]]的齐性空间。这对常[[曲率]][[非欧几里得几何]]模型，比如[[双曲空间]]，同样成立。

一个深一点的经典例子是三维射影空间里线组成的空间（等价于，四维向量空间中的二维子空间）。用简单的线性代数可以证明GL<sub>4</sub>传递作用在这个空间上。我们可用“线坐标”将其参数化：存在2×4矩阵的2×2 [[子式]]使得其列向量是子空间的两个基向量。所得空间的几何是{{link-en|尤里乌斯·普吕克|Julius Plücker}}的[[线几何]]。

== 齐性空间作为陪集 ==

一般地，如果''X''是一个齐性空间，而''H''<sub>o</sub>是''X''中某一给定点''o''的[[稳定子 (群论)|稳定子]]（选取一个[[原点]]），''X''中的点对应于左[[陪集]]''G''/''H''<sub>o</sub>。

选取不同的原点''o''一般将得到''G''商去一个不同子群''H''<sub>o′</sub>，它与''H''<sub>o</sub>相差一个''G''的[[内自同构]]。准确地，

: <math>H_{o'} = gH_og^{-1}</math>    (1)

这里''g''是''G''中任何元素使得''go'' = ''o''′。注意内自同构 (1)与''g''的选取无关，只取决与''g''模去''H''<sub>o</sub>。

如果''G''在''X''上的作用连续，则''H''是''G''的一个[[闭子群]]。特别地，如果''G''是一个[[李群]]，则由[[嘉当定理]]''H''是一个闭[[李子群]]。从而''G''/''H''是一个[[光滑流形]]，并且''X''带有与这个群作用相容惟一的[[光滑结构]]。

如果''H''是恒同子群{''e''}，则''X''是一个[[主齐性空间]]。

== 例子 ==

对线几何之例子，我们可将''H''等同于16-维[[一般线性群]]

: ''GL''<sub>4</sub>

的一个12-维子群，由如下矩阵元素的条件定义

: h<sub>13</sub> = h<sub>14</sub> = h<sub>23</sub> = h<sub>24</sub> = 0,

通过寻找前两个标准基向量生成的子空间的稳定子。这便证明了''X''的维数是4。

因为由子式给出的[[齐次坐标]]有6个，这意味着后者不是互相独立的。事实上这六个子式间有一个二次关系，已为十九世纪的几何学家知道。

这个例子是比射影空间更早发现的第一个[[格拉斯曼流形]]。在数学的通常使用中有许多更深入的典型线性群的齐性空间。

== 准齐性向量空间 ==

[[准齐性向量空间]]概念由[[佐藤幹夫]]提出。

它是带有一个[[代数群]]''G''作用的有限维[[向量空间]]''X''，使得存在''G''的一个轨道在[[扎里斯基拓扑]]下是开集（从而稠密）。一个例子是GL<sub>1</sub>作用在一维空间空间上。

这个定义比它最初出现时更加严格：这样的空间具有不寻常的性质，不可约准齐性向量空间在相差一个稱之為「castling」的轉換下存在一个分类。

== 物理中的齐性空间 ==

凡用到[[广义相对论]]的[[宇宙学]]都会使用[[比安基分类]]系统。相对论中的齐性空间代表某种[[物理宇宙学|宇宙模型]]的背景[[度量]]的[[空间 (物理)|空间部分]]；例如[[弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克度量]]的三个案例可以用比安基I（平坦），V（开），VII（平坦或开）与IX（闭）型子集来代表，而{{link-en|Mixmaster universe|Mixmaster universe}}代表一个比安基IX型宇宙的[[各向同性|各向异性]]例子<ref>{{citation |title=Course of Theoretical Physics vol. 2: The Classical Theory of Fields |author=[[列夫·朗道]]and [[Evgeny Lifshitz]] |isbn=978-0750627689 |date=1980 |publisher=Butterworth-Heinemann}}</ref>。

一个''N''维齐性空间允许一个由''N''(''N''-1)/2 [[基灵向量场]]组成的集合<ref>{{citation |title=Gravitation and Cosmology |author=[[Steven Weinberg]] |publisher=John Wiley and Sons |date=1972}}</ref>。三维时，总共给出了六个线性无关的基灵向量场；齐性3-空间可以使用这些向量场的线性组合，来寻找在任何地方都非零的基灵向量场<math>\xi^{(a)}_{i}</math>，

:<math>\xi^{(a)}_{[i;k]}=C^{a}_{\ bc}\xi^{(b)}_i \xi^{(c)}_k ,</math>

这里<math>C^{a}_{\ bc}</math>为“结构常数”，是一个[[常数|常]][[张量|秩-3张量]]，两个下指标[[反对称张量|反对称]]，<math>;</math>表示[[共变导数|共变微分算子]]。在一个[[Lambda-CDM|平坦各向同性宇宙]]情形，可能有<math>C^{a}_{\ bc}=0</math>（I型），但在闭FLRW宇宙情形，<math>C^{a}_{\ bc}=\varepsilon^{a}_{\ bc}</math>这里<math>\varepsilon^{a}_{\ bc}</math>是[[列维-奇维塔符号]]。

== 参考文献 ==
{{reflist}}

== 参见 ==
* [[埃尔朗根纲领]]
* {{link-en|克莱因几何|Klein geometry}}

[[Category:几何学|Q]]
[[Category:拓扑群|Q]]
[[Category:李群|Q]]
[[Category:齐性空间|*]]