查看“龐加萊群”的源代码

{{NoteTA|G1=數學|G2=物理學}}
{{for|拓撲空間的龐加萊群|基本群}}
{{群论}}
{{李群}}
在[[物理學]]與[[數學]]上，'''龐加萊群'''（{{lang-en|Poincaré group}}）是[[狹義相對論]]中[[閔可夫斯基時空]]的[[等距同構]][[群]]，由[[赫爾曼·閔可夫斯基]]引進<ref>{{Citation
|author=Minkowski, Hermann
|year=1907/8
|title=[[s:de:Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern|Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern]]
|journal=Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse
|pages=53–111}}
*Wikisource translation: [[s:The Fundamental Equations for Electromagnetic Processes in Moving Bodies|The Fundamental Equations for Electromagnetic Processes in Moving Bodies]].</ref><ref>{{Citation
|author=Minkowski, Hermann
|year=1908/9
|title=[[s:de:Raum und Zeit (Minkowski)|Raum und Zeit]]
|journal=Physikalische Zeitschrift
|volume=10
|pages=75–88}}</ref>，龐加萊群是以法國數學家[[亨利·龐加萊]]命名<ref>*{{Citation
|author=Poincaré, Henri
|year=1905/6
|title=[[s:fr:Sur la dynamique de l’électron (juillet)|Sur la dynamique de l’électron]]
|journal=Rendiconti del Circolo matematico di Palermo
|volume=21
|pages=129–176}}
*Wikisource translation: [[s:On the Dynamics of the Electron (July)|On the Dynamics of the Electron]]</ref>。它是一種有10個生成元的[[非阿貝爾群]]，在物理學上有着基礎級別的重要性。

==基本解釋==
[[等距同構]]是一種事物在事件間的時空軌跡上的移動方式，而這樣做是不會影響[[原時]]的。例如，所有事件被延後了兩小時，而這兩小時中包括了兩項事件，以及你從事件一到事件二的路徑，那麼你的計時器所量度出的，兩事件間的時間間距會是一樣的。又例如，所有事物被移到西邊五公里外的地方，那麼你所量度出的時間間距也不會改變。而這種移動的結果是不會影響棍子長度的。

如果我們無視[[重力]]效應的話，那麼一共有十種移動方式：在時間上的平移，在三維空間中任一維上的平移，在三條空間軸上任一條的（定角）旋轉，或三維任一方向上的直線性[[洛倫茲變換]]，因此是1 + 3 + 3 + 3 = 10。

如果將這種等距同構結合起來（即執行一個之後再執行另一個），那麼所得的結果也會是等距同構（然而，這一般來說只限於上述十種基本移動之間的線性組合）。這些等距同構因此形成了一個[[群]]。也就是說，它們當中存在[[單位元]]（即不移動，停留在原先的地方）及[[逆元]]（將事物移動回原先的位置），同時亦遵守[[結合律]]。這種特定群的名字叫做“'''龐加萊群'''”。

在[[古典物理學]]中，對應龐加萊群的群叫[[伽利略變換|伽利略群]]，也是有十個生成元的，伽利略群作用於[[絕對同時|絕對時空]]。而在伽利略群中取代直線性洛倫茲變換的是，聯繫兩個共動[[慣性參考系]]的[[錯切]]變換。

==專門解釋==
龐加萊群是[[閔可夫斯基時空]]的[[等距同構]][[群]]。它是一種十維的[[緊空間|非緊]][[李群]]。[[平移]]的[[阿貝爾群]]是一個[[正規子群]]，而[[洛倫茲群]]也是一個[[子群]]，原點的穩定子群。龐加萊群本身是{{link-en|仿射群|Affine group}}的最小子群，而仿射群就包括了所有的變換與[[洛倫茲變換]]。準確一點來說，龐加萊群是平移群與洛倫茲群的[[半直積]]
:<math>\mathbf{R}^{1,3} \rtimes \mathrm{SO}(1,3) \,.</math>

另一種解釋方式是，把龐加萊群視為[[洛倫茲群]]的[[群擴張]]，而擴張的部份則是它的向量[[群表示論|群表示]]；因此龐加萊群有一個不正式的稱呼，叫“非均勻洛倫茲群”（inhomogeneous Lorentz group）。另外，當[[德西特空間|德西特半徑]]趨向無限大時，德西特群（de Sitter group）<math>\text{SO}(4,1) \sim \text{Sp}(2,2)</math>的{{link-en|群收縮|Group contraction}}就是龐加萊群。

它的正能量么正不可約表示是由[[質量]]（非負數）與[[自旋]]（[[整數]]或半整數）所標記的，並與[[量子力學]]的粒子有關。

與[[愛爾蘭根綱領]]一致，閔可夫斯基空間的幾何由龐加萊群所規定的：閔可夫斯基空間可被視為龐加萊群的[[齊性空間]]。

'''龐加萊代數'''是龐加萊群的[[李代數]]。更具體的來說，正式的(<math>\text{det}(\Lambda)=1</math>)，也就是洛倫茲子群（它的{{link-en|單位連通區|Identity component}}）<math>\text{SO}^+ (1, 3)</math>的正確時間（<math>\Lambda_0^0\geq1</math>）部份，是與單位元有關係的，因此可用[[矩陣指數]]<math>\exp(ia_\mu P^\mu) </math>與<math>\exp(i\omega_{\mu\nu}M^{\mu\nu}/2)</math>表示。在分量形式中，龐加萊群可用以下的[[交換子|交換關係]]表示<ref>{{cite book|title=General Principles of Quantum Field Theory|author=N.N. Bogolubov|publisher=Springer|edition=2nd|isbn=0-7923-0540-X|year=1989|page=272|url=http://books.google.co.uk/books?id=7VLMj4AvvicC&pg=PA273&dq=pauli-lubanski+pseudovector&hl=en&sa=X&ei=LF9uUa7XNoLw0gX914GACA&ved=0CEEQ6AEwAg#v=onepage&q=pauli-lubanski%20pseudovector&f=false}}</ref><ref>{{cite book|isbn=1-13950-4320|author=T. Ohlsson|title=Relativistic Quantum Physics: From Advanced Quantum Mechanics to Introductory Quantum Field Theory|publisher=Cambridge University Press|year=2011|page=10|url=http://books.google.co.uk/books?id=hRavtAW5EFcC&pg=PA11&dq=pauli-lubanski+pseudovector&hl=en&sa=X&ei=LF9uUa7XNoLw0gX914GACA&ved=0CEYQ6AEwAw#v=onepage&q=pauli-lubanski%20pseudovector&f=false}}</ref>：
{{Equation box 1
|indent =:
|equation =    <math>~[P_\mu, P_\nu] = 0\,</math>
:<math>~\frac{ 1 }{ i }~[M_{\mu\nu}, P_\rho] = \eta_{\mu\rho} P_\nu - \eta_{\nu\rho} P_\mu\,</math>
:<math>~\frac{ 1 }{ i }~[M_{\mu\nu}, M_{\rho\sigma}] = \eta_{\mu\rho} M_{\nu\sigma} - \eta_{\mu\sigma} M_{\nu\rho} - \eta_{\nu\rho} M_{\mu\sigma} + \eta_{\nu\sigma} M_{\mu\rho}\, ,</math>
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|bgcolor=#F9FFF7}}
其中P為[[平移]]生成元，M為洛倫茲變換生成元，η為閔可夫斯基度規。

以下的是與（均勻）洛倫茲群的交換關係，洛倫茲群由旋轉（<math>J_i=-\varepsilon_{imn}M^{mn}/2</math>）及直線性洛倫茲變換（<math>K_i=M_{i0}</math>）所組成。在這樣的標記下，可以用非協變形式（但較實用）來表示整個龐加萊代數

:<math>[J_m,P_n] = i \epsilon_{mnk} P_k ~,</math>
:<math>[J_i,P_0] =  0 ~,</math>
:<math>[K_i,P_k] = i \eta_{ik} P_0 ~,</math>
:<math>[K_i,P_0] = -i P_i ~,</math>
:<math>[J_m,J_n] = i \epsilon_{mnk} J_k ~,</math>
:<math>[J_m,K_n] = i \epsilon_{mnk} K_k ~,</math>
:<math>[K_m,K_n] = -i \epsilon_{mnk} J_k  ~,</math>
其中最下面的是兩個直線性洛倫茲變換的交換關係，很多時候會被稱作“維格納旋轉”。注意根據上述關係，<math>[J_m+iK_m, J_n-iK_n]=0</math>，這是一項重要的簡化，能使洛倫茲子代數約化至'''su(2)'''⊕'''su(2)'''，並且使應付洛倫茲群的表示論的方法有效得多。

這種代數的[[卡西米爾不變量]]為<math>P_\mu P^\mu</math>與<math>W_\mu W^\mu</math>，其中<math>W_\mu</math>為{{link-en|包立-魯班斯基假向量|Pauli-Lubanski pseudovector}}；它們的作用是標記群表示。

龐加萊群是任何[[场 (物理)|相對論性量子場]]的完全對稱群。因此，所有[[基本粒子]]都能成為這個群表示的一部份。這些表示一般是由兩種物件所指明的：每一粒子的[[四維動量]]平方（即質量平方），和內稟[[量子數]]<math>J^{PC}</math>，其中{{mvar|J}}為[[自旋]]量子數，{{mvar|P}}為[[宇稱]]，{{mvar|C}}為[[電荷共軛]]量子數。實際上許多量子場會破壞宇稱與電荷共軛。在那些情況下就會棄用被破壞的{{mvar|P}}和{{mvar|C}}。由於每一套[[量子場論]]均需擁有[[CPT對稱|CPT不變性]]，因此要從{{mvar|P}}和{{mvar|C}}構建時間反轉量子數{{mvar|T}}是件很容易的事。

作為拓撲空間，這個群共有四個連通區：單位區、時間反轉區、空間顛倒區、以及同時出現時間反轉與空間顛倒的區。

==龐加萊對稱==
'''龐加萊對稱'''是[[狹義相對論]]的完全對稱，當中包括：
* 在時間與空間中的'''[[平移]]'''（即位移），'''P'''。它們形成了描述時空中的平移的[[阿貝爾群|阿貝爾]][[李群]]。
* 空間中的'''[[旋轉]]'''（它們形成了描述三維旋轉的非阿貝爾[[李群]]，其生成元為'''J'''）
* '''直線性[[洛倫茲變換]]'''，即聯繫兩個均勻移動物體的變換，其生成元為'''K'''。

上述最後兩種對稱，'''J'''及'''K'''，組合起來就成了[[洛倫茲群]]（見[[勞侖茲協變性|洛倫茲不變性]]）。

它們都是一種叫'''龐加萊群'''的[[李群]]的生成元，而龐加萊群是平移群與洛倫茲群的[[半直積]]。在這個群下不變的物件，可被稱為擁有'''龐加萊不變性'''或'''相對論性不變性'''。

==參考資料==
{{reflist}}

==參考文獻==
*{{cite book|title=Group Theory in Physics| author= Wu-Ki Tung| year= 1985|publisher=World Scientific Publishing| isbn=9971-966-57-3 }}
*{{Cite book|title=The Quantum Theory of Fields |volume=1 |last=Weinberg |first=Steven |year=1995 |publisher=Cambridge University press |location=Cambridge |isbn=978-0-521-55001-7 }}
*{{cite book|title=Quantum Field Theory|author=L.H. Ryder|publisher=Cambridge University Press|edition=2nd|isbn=0-52147-8146|year=1996|page=62|url=http://books.google.co.uk/books?id=nnuW_kVJ500C&pg=PA62&dq=pauli-lubanski+pseudovector&hl=en&sa=X&ei=Wl1uUd75NtCZ0QWOp4HwDw&ved=0CDsQ6AEwAQ#v=onepage&q=pauli-lubanski%20pseudovector&f=false}}

[[Category:李群]]
[[Category:粒子物理學]]
[[Category:量子場論]]
[[Category:相對論]]
[[Category:對稱]]