查看“龐特里亞金對偶性”的源代码

{{NoteTA|G1=Math}}
[[Image:2-adic integers with dual colorings.svg|thumb|300px|[[p進數|2进整数]]相互关系图示,它們是{{le|普魯法群|Prüfer group|龐特里亞金對偶性群}}的元素。]]

在'''數學'''上，特別是在[[調和分析]]與[[拓撲群]]的理論中，'''龐特里雅金對偶定理'''解釋了[[傅立葉變換]]的一般性質。它統合了[[實數]]線上或有限[[阿貝爾群]]上的一些結果，如：

* 實數線上夠「好」的複數值周期函數能表成[[傅立葉級數]]，反之也能從傅立葉級數推出原函數。

* 實數線上夠「好」的複數值函數有[[傅立葉變換]]；一如周期函數，在此也能從其傅立葉變換反推出原函數。

* 有限[[阿貝爾群]]上的複數值函數有[[離散傅立葉變換]]，這是在[[對偶群]]上的函數。此外，也從離散傅立葉變換反推原函數。

此理論由[[龐特里亞金]]（Lev Pontryagin）首開，並結合了[[約翰·馮·諾伊曼]]與[[安德魯·韋伊]]的[[哈爾測度]]理論，它依賴於局部緊阿貝爾群的對偶群理論。

==哈爾測度==
一個[[拓撲群]]<math>G</math>被稱作[[局部緊]]的，若且唯若其單位元素e有個緊鄰域。明白地說，這代表存在一個包含e的開集<math>V</math>，使得它在<math>G</math>裡的閉包<math>\bar{V}</math>是緊的。局部緊群<math>G</math>最值得注意的性質之一是它帶有一個唯一的自然[[測度]]，稱作[[哈爾測度]]，這使得我們可以一致地為<math>G</math>中「夠好」的子集測量大小；在此「夠好」的明確意義是[[博雷爾測度|博雷爾集]]，即由緊集生成的σ-代數。更明確地說，局部緊群<math>G</math>的一個'''右哈爾測度'''是指一個有限可加的[[博雷爾測度]]μ，並在<math> \mu (xg) = \mu (x) \;(\forall g \in G)</math>的意義下滿足「右不變性」；此測度尚須滿足一些正則性（詳見主條目[[哈爾測度]]）。任兩個右不變哈爾測度至多差一個正的比例常數。準此要領，亦可定義左不變哈爾測度，當<math>G</math>是阿貝爾群時兩者符應。

此測度讓我們得以定義<math>G</math>上的複數值博雷爾函數的積分，特別是可以考慮相關的<math>L^p</math>空間： 
: <math>L^p_\mu (G) = \left\{f: G \rightarrow \mathbb{C}: \int_G |f (x)|^p\, d \mu (x) < \infty \right\} </math>

以下是局部緊[[阿貝爾群]]的若干例子：

* <math>\mathbb{R}^n</math>，配上向量加法。
* 正實數配上乘法。此群透過指數及對數映射同構於<math>\mathbb{R}</math>。
* 任意賦以[[離散拓撲]]的有限阿貝爾群。根據有限阿貝爾群的結構定理，任何這樣的群都是循環群的直積。
* 整數<math>\mathbb{Z}</math>配上加法，並賦予離散拓撲。
* [[圓群]]<math>\mathbb{T}</math>。這是絕對值為一的複數在乘法下構成的群。我們有同構<math>\mathbb{T} \cong \mathbb{R}/\mathbb{Z}</math>。
* [[p進數]]配上加法及其p進拓撲。

==對偶群==
若<math>G</math>是局部緊緻阿貝爾群，<math>G</math>的[[特徵標理論|特徵標]]是一個從<math>G</math>到圓群<math>\mathbb{T}</math>的連續群同態；特徵標在逐點乘法下構成一個群，一個特徵標的反元素是它的複共軛。可證明所有<math>G</math>上的特徵標在[[緊緻開拓撲]]（即：以緊集上的一致收斂定義收歛性）下構成一個局部緊緻阿貝爾群，稱作'''對偶群'''，記為<math>\hat{G}</math>或<math>G^\wedge</math>。若<math>G</math>[[可分空间|可分]]，則<math>\hat{G}</math>可度量化，對一般的<math>G</math>則不盡然。

這可用線性代數中的對偶空間來類比，就像一個佈於<math>K</math>的向量空間<math>V</math>有對偶空間<math>\mathrm{Hom}(V, K)</math>，對偶群可看成<math>\mathrm{Hom}(G, \mathbb{T})</math>。更抽象的說，這兩者都是[[可表函子]]，被<math>K</math>及<math>\mathbb{T}</math>所表示。

'''定理'''：二次對偶<math>G^{\wedge\wedge}</math>與<math>G</math>有個自然同構。

在此，「自然」或「典範」同構意謂一個「自然地」定義的映射<math>G \rightarrow G^{\wedge\wedge}</math>，要點是它在範疇中滿足函子性（詳見條目[[範疇論]]）。舉例明之：任何有限阿貝爾群都同構於其對偶群，但並不存在典範同構。

定理中的自然同構定義如下：
: <math> x \mapsto \{\chi \mapsto \chi (x) \}\mbox{ i.e. } x(\chi):=\chi (x)</math>。
換言之，我們藉著將一個元素<math>x \in G</math>在每個<math>G</math>的特徵上求值，得到一個<math>\hat{G}</math>上的特徵。

==例子==
在整數對加法形成的無窮循環群<math>\mathbb Z</math> （配上離散拓撲）上，設χ為一特徵，則<math>\chi (n)=\chi (1)^n</math>，因此χ決定於χ(1)的值；反之，給定一個<math>\alpha \in \mathbb{T}</math>，必存在特徵χ使得χ(1)=α，由此得到群同構<math>\mathbb{Z}^\wedge \stackrel{\sim}{\rightarrow} \mathbb{T}</math>。此外也容易驗證<math>\mathbb{Z}^\wedge</math>上的緊-開拓撲對應到<math>\mathbb{T}</math>誘導自<math>\mathbb{C}</math>的拓撲。

因此，<math>\mathbb{Z}</math>的對偶群自然地同構於<math>\mathbb{T}</math>。

反之，<math>\mathbb{T}</math>上的特徵皆形如<math>z \mapsto z^n</math>，其中''n''是整數。由於<math>\mathbb{T}</math>是緊的，其對偶群上的拓撲由一致收斂性給出，對應的不外是<math>\mathbb Z</math>上的離散拓撲。因此<math>\mathbb{T}</math>的對偶群自然地同構於<math>\mathbb Z</math>。

實數對加法構成的群<math>\mathbb R</math>同構於自身的對偶群；<math>\mathbb{R}</math>上的特徵皆形如<math>r \mapsto e^{ir}</math>，其中''r''是實數。藉著這些對偶性，下節描述的傅立葉變換將符應於<math>\mathbb{R}</math>上的古典版本。

==傅立葉變換==
對於一個局部緊阿貝爾群<math>G</math>，傅立葉變換的值域是其對偶群。設<math>f \in L^1 (G)</math>，則其傅立葉變換是下述<math>\hat{G}</math>上的函數：

:<math> \widehat f(\chi) = \int_G f (x) \overline{\chi (x)}\;d\mu (x) </math>

其中μ是<math>G</math>上的一個哈爾測度。可以證明<math>\hat{f}</math>是<math>\hat{G}</math>上的有界連續函數，且在無窮遠處趨近零。同理可給出<math>g \in L^1(\hat{G})</math>的傅立葉逆變換

:<math> \check{g}(x) = \int_{\widehat{G}} g(\chi) \chi (x)\;d\nu(\chi) </math>

其中ν是<math>\hat{G}</math>上的一個哈爾測度。

==群代數==
局部緊阿貝爾群<math>G</math>上的可積函數構成一個代數，其乘法由卷積給出：設<math>f, g \in L^1 (G)</math>，則卷積定義為
:<math> [f \star g](x) = \int_G f (x - y) g (y)\, d \mu (y)</math>。

'''定理'''：巴拿赫空間<math>L^1 (G)</math>在卷積下構成一個交換結合代數。

此代數稱作<math>G</math>的'''群代數'''。根據<math>L^1 (G)</math>的完備性，它是個[[巴拿赫空間]]。巴拿赫代數<math>L^1 (G)</math>一般沒有乘法單位元，除非<math>G</math>離散。但它有個[[近似單位元]]，這是個[[網 (數學)|網]]，以一有向集<math>I</math>為索引，寫作<math>(e_i)_{i \in I}</math>並滿足下述性質。
:<math> f \star e_i \rightarrow f</math>。

傅立葉變換將卷積映至逐點乘法，即：
:<math> \mathcal{F}( f \star g)(\chi) = \mathcal{F}(f)(\chi)\cdot \mathcal{F}(g)(\chi)</math>。

特別是，對任意<math>G</math>上的特徵χ，可在群代數上定義一''積性線性泛函''
:<math> f \mapsto \widehat{f}(\chi)</math>。

群代數的重要性質之一，在於這些線性泛函窮竭了群代數上所有非平凡（即：非恆零）的積性線性泛函。見文獻中''Loomis''著作的第34節。

==普朗歇尔暨傅立葉反轉定理==
如前所述，一個局部緊阿貝爾群<math>G</math>的對偶群依然是局部緊阿貝爾群，因而帶有一族哈爾測度，彼此至多差一個比例常數。

'''定理'''：對偶群上存在一個哈爾測度，使得傅立葉變換在緊支集連續函數空間上的限制為等距同構。它可以唯一地延拓為一個么正算子。
: <math> \mathcal{F}: L^2_\mu (G) \rightarrow L^2_\nu(\widehat{G}) </math>

其中<math>\nu</math>是對偶群上既取的哈爾測度。 

注意到：若<math>G</math>非緊，<math>L^1 (G)</math>並不包含<math>L^2 (G)</math>，所以我們須訴諸一些技巧，例如限制於一個稠密子空間。

依循''Loomis''書中術語，我們稱一對<math>G</math>與其對偶群上的哈爾測度<math>(\mu, \nu)</math>是''相繫的''，若且唯若傅立葉反轉公式成立。傅立葉變換之么正性遂蘊含：對所有<math>G</math>上的連續緊支集複數值函數<math>f</math>都有

: <math> \int_G |f (x)|^2 \ d \mu (x) = \int_{\widehat{G}} |\widehat{f}(\chi)|^2 \ d \nu(\chi) </math>

在平方可積函數空間上，我們考慮的傅立葉變換是透過上述么正延拓得到的算子。對偶群本身也有個傅立葉逆變換；它可以刻劃為傅立葉變換之逆（或其伴隨算子，因為傅立葉變換是么正的），這是以下傅立葉反轉公式的內涵。

'''定理'''：取定一對相繫哈爾測度<math>(\mu, \nu)</math>；對於傅立葉變換在緊支集連續函數上的限制，其伴隨算子是傅立葉逆變換：

: <math>  L^2_\nu(\widehat{G}) \rightarrow L^2_\mu (G) </math>

*在<math>G = \mathbb{R}^n</math>的情形，我們有<math>\hat{G} = \mathbb{R}^n</math>，若取下述相繫的哈爾測度，則回到[[傅立葉變換]]的古典定義：
:<math> \mu =(2 \pi)^{-n/2} \times </math>（勒貝格測度）
:<math> \nu =(2 \pi)^{-n/2} \times </math>（勒貝格測度）
* 在<math>G=\mathbb{T}</math>的情形，對偶群<math>\hat{G}</math>自然同構於<math>\mathbb{Z}</math>，而上述算子<math>F</math>歸於計算周期函數的傅立葉係數。
* 若<math>G</math>為有限群，則得到[[離散傅立葉變換]]。此情形易直接證明。

==玻爾緊化==
龐特里亞金對偶定理的重要應用之一是下述刻劃：

'''定理'''：一個局部緊阿貝爾群<math>G</math>為緊，若且唯若對偶群<math>\hat{G}</math>為離散。另一方面，<math>G</math>為離散若且唯若<math>\hat{G}</math>為緊。

對任何拓撲群，無論局部緊或交換與否，皆可定義[[玻爾緊化]]。上述對偶性的用處之一是刻劃局部緊阿貝爾群的玻爾緊化。對一個局部緊阿貝爾群<math>G</math>，考慮拓撲群<math>\hat{H}</math>，其中<math>H</math>就群結構而言是<math>\hat{G}</math>，但帶離散拓撲。由於下述包含映射

: <math> \iota: H \rightarrow \widehat{G} </math>	 

是個連續同態，其對偶同態

: <math> G \sim \widehat{\widehat{G}} {\rightarrow} \widehat{H} </math>

是個映至一個緊群的同態；可以證明它滿足定義玻爾緊化的泛性質，因而<math>\hat{H}</math>確為<math>G</math>的玻爾緊化。

==範疇論觀點==
函子的觀點對於研究對偶群是很有用的。以下將以'''LCA'''表示所有局部緊阿貝爾群及其間的連續群同態構成之[[範疇 (數學)|範疇]]。

對偶群的構造<math>G \mapsto \hat{G}</math>給出一個對偶函子<math>\mathbf{LCA} \rightarrow \mathbf{LCA}^\mathrm{op}</math>。其二次迭代<math>G \mapsto G^{\wedge\wedge}</math>遂給出函子<math>\mathbf{LCA} \rightarrow \mathbf{LCA}</math>。

'''定理'''：對偶函子是一個範疇等價。

'''定理'''：對偶函子的二次迭代自然同構於'''LCA'''上的恆等函子。

此同構可以類比於有限維向量空間的二次對偶（特別是實與複向量空間）。

龐特里亞金對偶性將離散群與緊群的子範疇交換。若<math>R</math>是一個[[環]]，而<math>G</math>是個左<math>R</math>-模，則從對偶性可推知離散左<math>R</math>-模與緊右<math>R</math>-模對偶。'''LCA'''裡的自同態環<math>\mathrm{End}(G)</math>依對偶性對應至其反環（即：環的乘法次序交換）。舉例明之：取<math>G = \mathbb{Z}</math>，則<math>\hat{G} = \mathbb{T}</math>；前者滿足<math>\mathrm{End}(G)=\mathbb{Z}</math>，對後者亦然。

==非交換理論==
對非交換群<math>G</math>沒有類似的理論，因為此時對偶的對象<math>\hat{G}</math>={<math>G</math>的不可約表示之同構類}不只有一維表示，因此不構成一個群。在範疇論中類似的推廣稱作Tannaka-Krein對偶定理；但它缺乏與調和分析的聯繫，因而無法處理關於<math>\hat{G}</math>上的普朗歇尔測度的問題。

某些非交換群的對偶理論以[[C*-代數]]的語言表述。

==源流==

[[龐特里亞金]]在1934年為局部緊阿貝爾群及其對偶性的理論奠下基礎。他的進路須假定群是[[第二可數]]的，並且是緊群或離散群。此條件先後由E.R. van Kampen（1935年）與[[安德魯·韋伊]]（1953年）改進為局部緊阿貝爾群。

==文獻==

下列書籍（可在大部分大學圖書館找到）都有局部緊阿貝爾群、對偶定理與傅立葉變換的相關章節。Dixmier的著作有非交換調和分析的材料，也有英譯本。

* Jacques Dixmier, ''Les C*-algèbres et leurs Représentations'', Gauthier-Villars,1969.
* Lynn H. Loomis, ''An Introduction to Abstract Harmonic Analysis'', D. van Nostrand Co, 1953
* Walter Rudin, ''Fourier Analysis on Groups'', 1962
* Hans Reiter, Classical Harmonic Analysis and Locally Compact Groups, 1968（2nd ed produced by Jan D. Stegeman, 2000）。
* Hewitt and Ross, ''Abstract Harmonic Analysis, vol 1'', 1963.

[[Category:拓撲群|P]]
[[Category:调和分析|P]]
[[Category:傅里叶分析|P]]
[[Category:对偶理论|P]]