查看“2的算術平方根”的源代码

{{Unreferenced|time=2015-09-06T18:31:10+00:00}}
{{NoteTA
|G1 = Math
}}
{| border="1" style="clear: right; float: right; border-collapse: collapse;"
| colspan="2" align="center"| {{無理數}}
|-
|[[二進制]]
| 1.0110101000001001111...
|-
| [[十進制]]
| 1.4142135623730950488...
|-
| [[十六進制]]
| 1.6A09E667F3BCC908B2F...
|-
| [[连续分数]]
| <math>1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}}</math>
|}

'''2的算術平方根'''，俗称“'''根号2'''”，记作<math>\sqrt{2}</math>，可能是最早被发现的[[无理数]]。相传[[毕达哥拉斯学派]]的[[希帕索斯]]首先提出了“<math>\sqrt{2}</math>不是[[有理数]]”的命题：若一个[[直角三角形]]的两个[[直角边]]都是[[1]]，那么它的[[斜边]]长，无法用[[整数]]或[[分数]]表示。

<math>\sqrt{2}</math>其最初65位為
:{{gaps|1.41421|35623|73095|04880|16887|24209|69807|85696|71875|37694|80731|76679|73799|…}} {{OEIS|id=A002193}}

== <math>\sqrt{2}</math>是无理数的证明 ==
人們發現了许多方法[[证明]]<math>\sqrt{2}</math>是无理数。以下是[[反證法]]的證明：

=== 常見的證明 ===
# 假設<math>\sqrt{2}</math>是有理數，即有整數<math>a_0</math>、<math>b_0</math>，使得<math>\tfrac{a_0}{b_0}=\sqrt{2}</math>
# 將<math>\sqrt{2}</math>重寫成[[最簡分數]]<math>\tfrac{a}{b}</math>，即<math>a</math>和<math>b</math>[[互質]]，且<math>\left(\tfrac{a}{b}\right)^2=2</math>
# 所以<math>\tfrac{a^2}{b^2} =2</math>，即<math>a^2=2b^2</math>
# 因為<math>2b^2</math>必為[[偶数]]，故<math>a^2</math>亦是偶数
# 故<math>a</math>為偶数（[[奇数]]的[[平方]]不會是偶数）
# 所以必有一整數<math>k</math>，使得<math>a=2k</math>
# 將（3）的式子代入（6）：<math>2b^2=\left(2k\right)^2</math>
# 化简得<math>b^2=2k^2</math>
# 因为<math>2k^2</math>是偶数，所以<math>b^2</math>是偶数，<math>b</math>亦是偶数
# 所以<math>a</math>和<math>b</math>都是偶数，跟<math>\tfrac{a}{b}</math>是最簡分數的假設矛盾
# 因為導出矛盾，所以（1）的假設錯誤，<math>\sqrt{2}</math>不是有理數，即是無理數
這個證明可推廣至證明任何非[[平方數|完全平方數]]的[[正整數]]n，其[[算術平方根]]<math>\sqrt{n}</math>為無理數。

=== 另一個證明 ===
另外一個<math>\sqrt{2}</math>是無理數的反證法證明較少為人所知，但證明方法也相當漂亮：
#假設<math>\sqrt{2}</math>是有理數，便可以表示成最簡分數<math>\frac{m}{n}</math>，其中<math>m</math>,<math>n</math>為正整數
#<math>\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{1}=\frac{(2-\sqrt{2})(\sqrt{2}+1)}{2-1}=\frac{(2-\sqrt{2})(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}</math>
#由於<math>\sqrt{2}=\frac{m}{n}</math>，所以<math>\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}=\frac{2-\frac{m}{n}}{\frac{m}{n}-1}=\frac{2n-m}{m-n}</math>
#因為<math>\frac{m-n}{n}=\sqrt{2}-1</math>
#<math> 2>\sqrt{2}\Rightarrow1+1>\sqrt{2}\Rightarrow\sqrt{2}-1<1</math>
#所以<math>m-n<n</math>
#故<math>\frac{2n-m}{m-n}</math>是比<math>\frac{m}{n}</math>更簡的分數，與<math>\frac{m}{n}</math>是最簡分數的假設矛盾

從一個直角邊為<math>n</math>，斜邊為<math>m</math>的[[等腰直角三角形]]，可以用[[尺規作圖]]作出直角邊為<math>m-n</math>，斜邊為<math>2n-m</math>的等腰直角三角形。這是[[古希臘]]幾何學家的作圖證明方法。

== 性质 ==
2的算术平方根可以表示为以下的[[级数]]或[[无穷乘积]]：

:<math>\frac{1}{\sqrt 2} = \prod_{k=0}^\infty
\left(1-\frac{1}{(4k+2)^2}\right) =
\left(1-\frac{1}{4}\right)
\left(1-\frac{1}{36}\right)
\left(1-\frac{1}{100}\right) \cdots</math>

:<math>\sqrt{2} =
\prod_{k=0}^\infty
\frac{(4k+2)^2}{(4k+1)(4k+3)} =
\left(\frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 3}\right)
\left(\frac{6 \cdot 6}{5 \cdot 7}\right)
\left(\frac{10 \cdot 10}{9 \cdot 11}\right)
\left(\frac{14 \cdot 14}{13 \cdot 15}\right) \cdots</math>

:<math>\sqrt{2} =
\prod_{k=0}^\infty
\left(1+\frac{1}{4k+1}\right)
\left(1-\frac{1}{4k+3}\right)
=
\left(1+\frac{1}{1}\right)
\left(1-\frac{1}{3}\right)
\left(1+\frac{1}{5}\right)
\left(1-\frac{1}{7}\right) \cdots.</math>

:<math>\frac{1}{\sqrt{2}} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \left(\frac{\pi}{4}\right)^{2k}}{(2k)!}.</math>

:<math>\sqrt{2} = \sum_{k=0}^\infty (-1)^{k+1} \frac{(2k-3)!!}{(2k)!!} =
1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2\cdot4} + \frac{1\cdot3}{2\cdot4\cdot6} -
\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6\cdot8} + \cdots.</math>

:<math>\sqrt{2} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(2k+1)!}{(k!)^2 2^{3k+1}} = \frac{1}{2} +\frac{3}{8} +
\frac{15}{64} + \frac{35}{256} + \frac{315}{4096} + \frac{693}{16384} + \cdots.</math>

2的算术平方根的[[连分数]]展开式为：

:<math> \!\ \sqrt{2} = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{\ddots}}}}. </math>

== 参见 ==
* [[3的算術平方根]]
* [[5的算術平方根]]
* [[平方根]]
* [[无理数]]

== 外部链接 ==
*[http://www.math.ust.hk/excalibur/v3_n1.pdf <math>\sqrt{2}</math>是無理數的六個證明，香港大學數學系蕭文強]（Mathematical Excalibur Vol.3 No.1 Page 2）
* [http://www.math.sinica.edu.tw/math_media/pdf.php?m_file=ZDMwNC8zMDQwNA== 舊題新解 — 根號2是無理數，張海潮 張鎮華]{{dead link|date=2018年2月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}（數學傳播 第 30 卷 第 4 期）

[[Category:无理数]]
[[Category:代数数]]
[[Category:数学常数]]