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在[[统计学]]中，'''BP检验'''（{{lang-en|Breusch–Pagan test}}）是1979年由{{tsl|en|Trevor Breusch|布伦斯}}和{{tsl|en|Adrian Pagan|帕甘}}提出的方法<ref>{{cite journal |last=Breusch | first=T. S. |last2=Pagan |first2=A. R. |title=A Simple Test for Heteroskedasticity and Random Coefficient Variation |journal=Econometrica |year=1979 |volume=47 |issue=5 |pages=1287–1294 |mr=545960 |jstor=1911963 |doi=10.2307/1911963}}</ref>，用来检验[[线性回归]]模型中是否存在[[异方差]]的问题。另外，{{tsl|en|R. Dennis Cook|丹尼斯·库克}}和韦斯伯格在1983年独立地提出了类似的方法<ref>{{cite journal |last=Cook |first=R. D. |first2=S. |last2=Weisberg |year=1983 |title=Diagnostics for Heteroskedasticity in Regression |journal=Biometrika |volume=70 |issue=1 |pages=1–10 |doi=10.1093/biomet/70.1.1 }}</ref>。异方差的存在意味着模型的[[方差]]与[[自变量]]是相关的。

设回归模型为

:<math>
y = \beta_0 + \beta_1 x + u, \,
</math>

对其进行回归可以得到一组残差<math>\widehat{u}</math>。{{tsl|en|Ordinary least squares|普通最小二乘法}}要求方差与[[自变量]]无关，这时方差可以由残差平方和的平均值估计得到。但如果这个前提不成立，例如方差与自变量线性相关，就可以通过下列辅助回归，即残差平方对自变量进行回归检验出来：
:<math>
\widehat{u}^2 = \gamma_0 + \gamma_1 x + v.\,
</math>

这就是BP检验的一个情形。它实质上是[[卡方检验]]，检验统计量[[渐进分布|渐进于]][[卡方分布|<math>n\chi^2</math>]]，自由度与除常数项外的解释变量数相等。如果得到的[[p值]]小于一定阈值（如0.05）就可以拒绝零假设并认为异方差存在。

如果BP检验表明存在异方差存在，可以视情况使用{{tsl|en|weighted least squares|加权最小二乘法}}（适用于异方差的分布已知时）或{{tsl|en|heteroscedasticity-consistent standard errors|异方差稳健标准误}}方法。

== 流程 ==
根据[[高斯-马尔可夫定理]]，在同方差的前提下，普通最小二乘估计是最佳的线性[[无偏估计]]，意即其方差相较其他任何估计量都更小。如果异方差存在，估计结果仍是无偏的，但其方差并不是最小的。在决定使用哪种估计方法之前，可以先进行BP测试来判断是否存在异方差。BP检验的前提是方差<math>\sigma_i^2 = h(x_i^T\gamma)</math>与各个自变量有关，其中<math>x_i = (1, x_{2i}, \ldots, x_{pi})</math>是自变量，这里除去常数项以外共有<math>p-1</math>个解释变量。[[零假设]]亦即异方差不存在等价于<math>(p - 1)</math>个约束：
:<math>
\gamma_2 = \cdots = \gamma_p = 0.
</math>

BP测试分为以下三个步骤：<ref>{{cite journal |last=Koenker |first=R. |year=1981 |title=A note on studentizing a test for heteroskedasticity |journal=Journal of Econometrics |volume=17 |issue=1 |pages=107–112 |doi=10.1016/0304-4076(81)90062-2 }}</ref>

* 第一步：对原始模型进行普通最小二乘估计
:: <math>
y = X\beta+\varepsilon
</math>
并对每个观测都计算出残差<math>e_i</math>。
* 第二步：进行下列辅助回归
:: <math>
e_i^2=\gamma_1+\gamma_2x_{2i}+\cdots+\gamma_px_{pi}+\eta_i
</math>
* 第三步：检验统计量LM等于第二步中辅助回归的[[决定系数]]乘以样本大小<math>n</math>：
:: <math>
\text{LM}=nR^2\, .
</math>
如果同方差的零假设成立，LM统计量是[[渐进分布|渐进于]]<math>\chi^2_{p - 1}</math>分布的<ref>{{cite book |last=Wooldridge |first=Jeffrey M. |title=Introductory Econometrics: A Modern Approach |location= |publisher=South-Western |edition=Fifth |year=2013 |isbn=978-1-111-53439-4 |page=267 }}</ref>。

== 软件实现 ==
在[[R语言]]中，能够完成BP检验的函数包括<code>car</code>[[R语言#套件|包]]中的<code>ncvTest</code>函数<ref>{{cite web|url=https://mran.microsoft.com/web/packages/car/car.pdf#page=86|title=MRAN: ncvTest {car}|publisher=}}</ref>、<code>lmtest</code>包中的<code>bptest</code>函数<ref>{{cite web|url=https://www.rdocumentation.org/packages/lmtest/versions/0.9-36/topics/bptest|title=bptest function - R Documentation|website=www.rdocumentation.org}}</ref><ref>{{cite book |first=Christian |last=Kleiber |first2=Achim |last2=Zeileis |title=Applied Econometrics with R |location=New York |publisher=Springer |year=2008 |isbn=978-0-387-77316-2 |pages=101–102 |url=https://books.google.com/books?id=86rWI7WzFScC&pg=PA101 }}</ref>以及<code>plm</code>包中的<code>plmtest</code>函数<ref>{{cite web|url=https://mran.microsoft.com/web/packages/plm/plm.pdf#page.71|title=MRAN: plmtest {plm}|publisher=}}</ref>等。

而[[Stata]]中计算回归后使用<code>estat hettest</code>命令，参数填写所有独立变量，即可进行BP检验<ref>{{cite web |title=regress postestimation — Postestimation tools for regress |work=Stata Manual |date= |url=https://www.stata.com/manuals13/rregresspostestimation.pdf }}</ref><ref>{{cite book |first=A. Colin |last=Cameron |first2=Pravin K. |last2=Trivedi |title=Microeconometrics Using Stata |edition=Revised |year=2010 |publisher=Stata Press |location= |page=97 |url=https://books.google.com/books?id=xPDtAAAAMAAJ&pg=PA97 |via=[[Google Books]] }}</ref>。

在[[Python]]中，<code>statsmodels.stats.diagnostic</code>（<code>statsmodels</code>包）中的函数<code>het_breuschpagan</code>可进行BP检验<ref>{{Cite web|url=http://www.statsmodels.org/stable/generated/statsmodels.stats.diagnostic.het_breuschpagan.html#statsmodels.stats.diagnostic.het_breuschpagan|title=statsmodels.stats.diagnostic.het_breuschpagan — statsmodels 0.8.0 documentation|website=www.statsmodels.org|access-date=2017-11-16}}</ref>。

== 参见 ==
* {{tsl|en|White test|怀特检验}}

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

== 拓展阅读 ==
* {{cite book |last=Gujarati |first=Damodar N. |last2=Porter |first2=Dawn C. |title=Basic Econometrics |location=New York |publisher=McGraw-Hill Irwin |edition=Fifth |year=2009 |pages=385–86 |isbn=978-0-07-337577-9 |url={{Google books |plainurl=yes |id=zJlDPgAACAAJ |page=385 }} }}
* {{cite book |last=Kmenta |first=Jan |chapter= |pages=292–298 |title=Elements of Econometrics |location=New York |publisher=Macmillan |year=1986 |edition=Second |isbn=0-02-365070-2 }}
* {{cite book |last=Krämer |first=W. |first2=H. |last2=Sonnberger |year=1986 |title=The Linear Regression Model under Test |location=Heidelberg |publisher=Physica |isbn= }}
* {{cite book |last=Maddala |first=G. S. |last2=Lahiri |first2=Kajal |title=Introduction to Econometrics |location=Chichester |publisher=Wiley |edition=Fourth |year=2009 |isbn=978-0-470-01512-4 |pages=216–218 |url={{Google books |plainurl=yes |id=vkQvQgAACAAJ |page=216 }} }}

[[Category:统计检验]]