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{{NoteTA
|G1 = Math
}}
'''CW复形'''，又称'''胞腔复形'''，在[[拓扑学]]上屬於[[拓扑空间]]之一類，由[[J.H.C.怀特海德]]引入，用于[[同伦理论]]。其思想是构造一类空间，比[[单纯复形]]更为广泛（我们现在可以说，有更好的[[范畴论]]属性）；但还要保留组合的本质，因此计算方面的考虑没有被忽略。

== 形式表述 ==
粗略地说，CW复形由称作'''胞腔'''的基本元件组成。其精确定义规定胞腔如何在拓扑意义上“粘合”。CW复形名称中的“C”代表“闭有限”（{{Lang|en|closure-finite}}），而“W”则代表“弱拓扑”（{{Lang|en|weak topology}}）。

单个 <math>n</math> 维闭胞腔是指 <math>n</math> 维[[球 (数学)|闭球]]在[[贴映射]]下的像。例如，每个[[单纯形]]都是一个闭胞腔，或更一般地，每个[[凸多面体]]都是一个闭胞腔。单个 <math>n</math> 维开胞腔则是一个[[同胚]]于 <math>n</math> 维[[球 (数学)|开球]]的拓扑空间。零维的开（或闭）胞腔是指一个[[单元素集合|单元素空间]]。而“闭有限”条件要求每个闭胞腔都可由有限个开胞腔所[[覆盖 (拓扑学)|覆盖]]。

'''CW复形'''是一个[[豪斯多夫空间]] <math>X</math>，连同一个将 <math>X</math> 划为开胞腔（维度不必统一）的[[集合划分|划分]]，并满足以下性质：
* 对 <math>X</math> 的划分中的任意一个 <math>n</math> 维开胞腔 <math>C</math>，存在一个从 <math>n</math> 维闭球到 <math>X</math> 的[[連續函數 (拓撲學)|连续映射]] <math>f</math>，使得：
** <math>f</math> 限制在闭球的内部上是到胞腔 <math>C</math> 的同胚，且
** 闭球的边界在 <math>f</math> 下的像包含于 <math>X</math> 的划分中的有限个维度小于 <math>n</math> 的元素的并集内。
* <math>X</math> 的闭子集即是与每一个开胞腔交于闭集（相对于开胞腔本身的拓扑）的集合（<math>X</math> 的拓扑为所有开胞腔的并的弱拓扑）。

=== 相对CW复形 ===
笼统地说，''相对CW复形''与CW复形的区别在于它容许一个额外的、不须带有任何胞腔结构的组件。遵照上文的定义，这个组件被视作负一维胞腔。<ref>{{cite book |last1=Davis |first1=James F. |authorlink1= |last2=Kirk |first2=Paul |authorlink2= |date=2001 |title=Lecture Notes in Algebraic Topology |publisher=American Mathematical Society |location=Providence, R.I.}}</ref><ref>https://ncatlab.org/nlab/show/CW+complex</ref><ref>https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/CW-complex</ref>

==CW复形的归纳法定义==

如果一个CW复形中胞腔的维度最大为 <math>n</math>，那么我们称这个CW复形是 <math>n</math> 维的。若胞腔的维度没有上限，那么我们说这个CW复形是无穷维的。CW复形的 <math>n</math> 维骨架是指所有维度不超过 <math>n</math> 的胞腔的并。如果这个并集是闭集，那么它本身就是一个CW复形，称为原复形的'''子复形'''。因此，CW复形的 <math>n</math> 维骨架是维度不超过 <math>n</math> 的最大子复形。

CW复形常常由其各个维度上的骨架通过归纳来定义。首先定义0维骨架为[[离散空间]]。紧接着将1维胞腔黏着到0维骨架上。这一步先将每个1维胞腔先视作1维闭球，然后通过某个从这个闭球的[[边界 (拓扑学)|边界]]——即0维球面 <math> S^0 </math> ——到0维骨架的连续影射贴合。<math> S^0 </math> 上的每一点都与其在该映射下的像与0维骨架上的某一点等同；这构成一个等价关系。如此，1维骨架就定义成0维骨架和所有1维胞腔的并、再模去此等价关系后的[[商空间]]。

概括而言，给定 <math>(n-1)</math> 维骨架，<math>n</math> 维骨架是由在此基础上黏着 <math>n</math> 维胞腔得到。每个 <math>n</math> 维胞腔同样先视作 <math>n</math> 维闭球，然后通过某个从这个闭球的[[边界 (拓扑学)|边界]]——即 <math>(n-1)</math> 维球面 <math> S^{n-1} </math> ——到 <math>(n-1)</math> 维骨架的连续影射贴合。<math> S^{n-1} </math> 上的每一点都与其在该映射下的像与 <math>(n-1)</math> 维骨架上的某一点等同；这同样构成一个等价关系。这样，<math>n</math> 维骨架就定义成 <math>(n-1)</math> 维骨架和所有 <math>n</math> 维胞腔的并、再模去此等价关系后的[[商空间]]。

在同构意义上，每个 <math>n</math> 维CW复形都可依此由其 <math>(n-1)</math> 维骨架构造而成，因此每个有限维CW复形都能按以上方法构造。甚至对于无穷维CW复形也成立，只要借助拓扑空间的[[极限 (范畴论)|归纳极限]]来描述以上无穷过程的结果，这个结论也是对的：在极限的集合 <math>X</math> 中，子集是闭集当且仅当它与每一个''骨架''都交于闭集（相对于骨架本身的拓扑）。

==例子==

* 实数集 <math>\mathbb R</math> 上的''标准CW结构''中的0维骨架为整数集 <math>\mathbb Z</math>，而1维胞腔则是区间 <math>\{ [n,n+1] : n \in \mathbb Z\}</math> 。相似地，在 <math>\mathbb R^n</math> 上的标准CW结构中的胞腔是 <math>\mathbb R</math> 的0维和1维胞腔的积。
* [[多面体]]带有自然的CW复形结构。
* [[图 (数学)|图]]是一维CW复形。
* 无穷维[[希尔伯特空间]]不是CW复形：它是一个[[贝尔空间]]（见[[贝尔纲定理]]），因此不能写成其 <math>n</math> 维骨架的并，因每个骨架都是闭集且内部为空。这个论证也可引申到许多无穷维空间。
* <math>n</math> 维[[球面]]容许一个只有两个胞腔的CW结构：一个0为胞腔和一个 <math>n</math> 维胞腔，依靠从 <math>S^{n-1}</math> 到0维胞腔的常映射黏着。另外一个替代的胞腔分解也很受欢迎，因赤道包含映射 <math>S^{n-1} \to S^n</math> 的补恰好是两个球：上半球和下半球。由归纳法可得 <math>S^n</math> 的一个CW分解，每个维度 <math>0 \leq k \leq n</math> 上恰好有两个 <math>k</math> 维胞腔。
* <math>n</math> 维[[实射影空间]]容许一个CW结构，每个维度 <math>0 \leq k \leq n</math> 上恰好有一个 <math>k</math> 维胞腔。
* [[格拉斯曼流形]]容许一个CW结构，其胞腔称作'''[[格拉斯曼流形|舒伯特胞腔]]'''.
* 微分流形、代数和射影[[代数簇|簇]]都同伦于CW复形。
* 空间 <math>\{re^{2\pi i \theta} : 0 \leq r \leq 1, \theta \in \mathbb Q\} \subset \mathbb C</math> 同伦于CW复形（甚至是可收缩的），但不容许任何CW结构，因其不是局部可收缩的。
* {{link-en|夏威夷耳环|Hawaiian earring}}是不同伦于CW的拓扑空间的一例。

==CW复形的同调与上同调==

CW复形的[[奇异同调]]（或上同调）可以通过[[胞腔同调]]计算。此外，在CW复形和胞腔映射的范畴内，胞腔同调可以解读成一种[[同调论]]。如要计算CW复形的广义（上）同调，{{Link-en|阿提亚-希策布鲁赫|Atiyah–Hirzebruch spectral sequence}}[[譜序列|谱序列]]是胞腔同调的一个类比。

以下是一些计算的实例：

:* 对于球面 <math>S^n</math>，取只带有一个0维胞腔和一个 <math>n</math> 维胞腔的分解。胞腔[[链复形]] <math>C_*</math> 与同调皆为
::<math>H_k = C_k = \left\{
\begin{array}{lr}
\mathbb Z & k \in \{0,n\} \\
0 & k \notin \{0,n\}
\end{array}
\right.</math>
因为所有微分算子皆为零（实际上，上链复形与上同调亦然）。或者，如果我们取赤道分解，使得每个维度上各有两个胞腔，那么
::<math>C_k = \left\{
\begin{array}{lr}
\mathbb Z^2 & 0 \leq k \leq n \\
0 & \text{otherwise}
\end{array}
\right.</math>
而微分算子是形为 <math>\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1\end{pmatrix}</math> 的矩阵。这个复形给出的同调与以上计算一致，因为复形在除 <math>C_0</math> 与 <math>C_n</math> 项外都是正合的。

:* 对于复射影空间  <math>\mathbb{P}^n\mathbb{C}</math>，可以相似地算得
::<math>H^k(\mathbb{P}^n\mathbb{C}) = \begin{cases}
  \mathbb{Z} \quad\text{for } 0\le k\le 2n,\text{even}\\
  0  \quad\text{otherwise}.
\end{cases}</math>

之所以这两例中计算都尤其简单，是因为同调完全由胞腔数目确定——换言之，胞腔的黏着映射在计算中没有扮演任何角色。这个现象只是特例，在一般情况下并不成立。

== 同伦范畴 ==

在某些专家眼中，CW复形的[[同倫範疇]]即使不是唯一的同伦范畴（基于技术原因，实际使用的版本是带基点的空间），也是同伦范畴的最佳候选。<ref>例如，{{SpringerEOM| title=CW-complex | id=CW-complex | oldid=15603 | first=D.O. | last=Baladze }}声称"The class of CW complexes (or the class of spaces of the same homotopy type as a CW complex) is the most suitable class of topological spaces in relation to homotopy theory"</ref>因此，可能会得出非CW复形的空间的辅助构造需尽量避免。在这方面的基本结论是[[布朗可表性定理]]：同伦范畴上的[[可表函子]]可以借助CW复形来相当精简地刻画。

== 性质 ==
*CW复形是局部可收缩的。
* CW复形满足[[懷特黑德定理]]：CW复形之间的映射是同伦等价当且仅当在所有同伦群上都诱导出同构。
* 两个CW复形的积可以''转化''成一个CW复形。具体而言，设 <math>X</math> 和 <math>Y</math> 为CW复形，那么 <math>X\times Y</math> 上容许一个CW复形的结构，其胞腔即 <math>X</math> 中的胞腔与 <math>Y</math> 中胞腔的积，并配备弱拓扑。不出所料，这个新的CW复形的底集合就是 <math>X\times Y</math> 本身。此外，多数情况下弱拓扑与 <math>X\times Y</math> 上的[[积空间|积拓扑]]一致，例如当 <math>X</math> 或 <math>Y</math> 之一是有限CW复形（或更一般地，当它们之一是'''局部有限'''的，也即在每个维度它有有限个胞腔）。然而，如果 <math>X</math> 和 <math>Y</math> 皆非[[局部紧空间|局部紧]]，弱拓扑可能比积拓扑更[[拓撲比較|精细]]。在这种不利的情形下，两个复形的积（作为拓扑空间） <math>X\times Y</math> ''不是''一个CW复形。另一方面，<math>X</math> 和 <math>Y</math> 在[[紧生成空间]]范畴中的积的拓扑与弱拓扑一致，因此确实定义出一个CW复形。
* 设 <math>X</math> 和 <math>Y</math> 为CW复形。[[函数空间]] <math>\operatorname{Hom}(X,Y)</math> （带[[紧致开拓扑]]）一般''不是''CW复形。若 <math>X</math> 是有限CW复形，那么 <math>\operatorname{Hom}(X,Y)</math> [[同倫等價|同伦等价]]于一个CW复形；这是由于[[约翰·米尔诺]]的一个定理 (1959)。<ref name="milnor">[[John Milnor|Milnor, John]], "[http://www.jstor.org/stable/1993204 On spaces having the homotopy type of a CW-complex]" ''Trans. Amer. Math. Soc.'' '''90''' (1959), 272–280.</ref> 注意到 <math>X</math> 和 <math>Y</math> 都是紧生成豪斯多夫空间，因此 <math>\operatorname{Hom}(X,Y)</math> 常常取其紧生成的变种；以上结论对于这个变种仍然成立。<ref>{{cite web |url=http://neil-strickland.staff.shef.ac.uk/courses/homotopy/cgwh.pdf |title=Compactly Generated Spaces}}</ref>
* CW复形的[[覆疊空間]]也是CW复形。
* CW复形是[[仿紧空间]]，而有限CW复形是[[紧空间]]。CW复形的紧子空间必定包含于一有限子复形内。<ref>[[Allen Hatcher|Hatcher, Allen]], ''Algebraic topology'', Cambridge University Press (2002). ISBN 0-521-79540-0. 免费电子版本可见[http://www.math.cornell.edu/~hatcher/ 作者的网站]。</ref><ref>[[Allen Hatcher|Hatcher, Allen]], ''Vector bundles and K-theory'', 初步版本可见于[http://www.math.cornell.edu/~hatcher/ 作者的网站]</ref>

==參考文獻==

===注释===
{{reflist}}

===综合参考===
{{refbegin<!--too few as yet for: |2-->}}
*{{cite journal|ref=harv|first=J. H. C.|last=Whitehead|authorlink=J. H. C. Whitehead|title=Combinatorial homotopy. I.|journal=Bull. Amer. Math. Soc.|volume=55|issue=5|year=1949a|pages=213–245|mr=0030759|url=http://www.ams.org/journals/bull/1949-55-03/S0002-9904-1949-09175-9/|doi=10.1090/S0002-9904-1949-09175-9}} (open access)
*{{cite journal|ref=harv|first=J. H. C.|last=Whitehead|title=Combinatorial homotopy. II.|journal=Bull. Amer. Math. Soc.|volume=55|issue=3|year=1949b|pages=453–496|url=http://www.ams.org/journals/bull/1949-55-05/S0002-9904-1949-09213-3/|mr=0030760|doi=10.1090/S0002-9904-1949-09213-3}} (open access)
*{{cite book|ref=harv|last=Hatcher|first=Allen|authorlink=Allen Hatcher|title=Algebraic topology|publisher=[[Cambridge University Press]]|year=2002|isbn=0-521-79540-0}} 该教材在第一章定义了CW复形，且对它们的使用贯穿全书；书末有一节关于CW复形的拓扑的附录。免费电子版本可见[http://www.math.cornell.edu/~hatcher/ 作者的网站]。
*{{cite book|ref=harv|first1=A. T.|last1=Lundell|first2=S.|last2=Weingram|title=The topology of CW complexes|publisher=[[Van Nostrand]] University Series in Higher Mathematics|year=1970|isbn=0-442-04910-2}}
* {{cite book| ref=harv|first1= R.|last1= Brown|first2=P.J. | last2= Higgins| first3= R. | last3= Sivera|title= Nonabelian Algebraic Topology:filtered spaces, crossed complexes, cubical homotopy groupoids| publisher= [[European Mathematical Society]] Tracts in Mathematics Vol 15| year=2011| isbn=978-3-03719-083-8 }} 更多细节请见[http://groupoids.org.uk/nonab-a-t.html 第一作者的网站]
{{refend}}

{{DEFAULTSORT:CW复形}}
[[Category:代数拓扑]]
[[Category:同伦论]]
[[Category:拓扑空间]]