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在[[数值分析]]中，'''Clenshaw递推公式''' (由[[Charles William Clenshaw]]发现)是一个求[[切比雪夫多项式]]的值的[[递归]]方法。

==切比雪夫多项式==
''N''次切比雪夫多项式，是下面形式的多项式''p''(''x'')

:<math>p(x) = \sum_{n=0}^{N} a_n T_n(x)</math>

其中''T''<sub>''n''</sub>是''n''阶切比雪夫多项式.

==Clenshaw递推公式==
Clenshaw递推公式可以用来计算切比雪夫多项式的值。给定

:<math>p(x) = \sum_{n=0}^{N} a_n T_n(x)</math>
我们定义

:{|
| <math>b_{N} \,\!</math> 
| <math>:= a_{N} \,</math>
|-
| <math>b_{N-1} \,\!</math> 
| <math>:= 2 x b_{N} + a_{N-1} \,</math>
|-
| <math>b_{N-n} \,\!</math> 
| <math>:= 2 x b_{N-n+1} + a_{N-n} - b_{N-n+2} \,,\; n=2,\ldots,N-1 \,</math>
|-
| <math>b_{0} \,\!</math> 
| <math>:= x b_{1} + a_{0} - b_{2} \,</math>
|}

于是

:<math>p(x) = \sum_{n=0}^{N} a_n T_n(x) = b_{0}.</math>

(注)上面的公式在 <math> N = 0, 1 </math>的情况下无意义。
此时我们可以用下面的公式：

:{|
| <math>b_{N+2} :=0\,</math>
|-
| <math>b_{N+1} :=0\,</math>
|-
| <math>b_{j} := 2 x b_{j+1} - b_{j+2} + a_{j} \,,\; j=N,\ldots,1 </math> (downward, omit if N=0)
|-
| <math>p(x) := x b_{1} - b_{2} + a_{0} \,</math>
|-
| <math>q(x) := 2 x b_{1} - b_{2} + a_{0} \,</math>
|}

这里
: <math> p(x) = \sum_{n=0}^{N} a_n T_n(x) </math>
或者
: <math> q(x) = \sum_{n=0}^{N} a_n U_n(x) </math>
其中<math>U_n(x)</math>是第二类切比雪夫多项式。


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[[Category:数值分析]]