查看“E的π次方”的源代码

{{Lowercase}}
<math>e^\pi  \,</math>是一个[[数学常数]]。与[[e (数学常数)|e]]和[[圆周率|π]]一样，它是一个[[超越数]]。这可以用[[格尔丰德-施奈德定理]]来证明，并注意到：

:<math> e^\pi  \; = \;    (e^{i\pi})^{-i}   \; = \;(-1)^{-i}</math>

其中''i''是[[虚数单位]]。由于−''i''是代数数，但肯定不是有理数，因此''e''<sup>π</sup>是超越数。这个常数在[[希尔伯特第七问题]]中曾提到过。一个相关的常数是<math> 2^{\sqrt{2}}</math>，[[2的根号2次方]]，又称为[[格尔丰德-施奈德常数]]。相关的值<math> \pi + e^\pi\,</math>也是无理数<ref>{{cite journal|author=Nesterenko, Y|authorlink=Yuri Valentinovich Nesterenko|title=Modular Functions and Transcendence Problems|journal=[[Comptes rendus de l'Académie des sciences]] Série 1|volume=322|number=10|pages=909–914|year=1996}}</ref>。

== 数值 ==

在十进制中，''e''<sup>π</sup>大约为

:<math>e^\pi  \approx 23.140692632\dots\,.</math>

它的值可以用以下[[迭代]]来求出。定义

:<math>k_n=\frac{1-\sqrt{1-k_{n-1}^2}}{1+\sqrt{1-k_{n-1}^2}}</math>

其中<math>\scriptstyle k_0\,=\,\tfrac{1}{\sqrt{2}}.</math>

则 

:<math>\left(\frac{4}{k_N}\right)^{2^{1-N}}</math>

迅速收敛于<math>e^\pi</math>。

== 几何中的独特之处 ==

[[n维球面|n维球体]]的体积由以下公式给出：

:<math>V_n={\pi^\frac{n}{2}R^n\over\Gamma(\frac{n}{2} + 1)}.</math>

所以，任何一个偶数维的单位球具有体积：

:<math>V_{2n}=\frac{\pi^{n}}{n!}.</math>

把所有偶数维的单位球的体积加起来，得出：<ref>Connolly, Francis. University of Notre Dame</ref>

:<math>\sum_{n=0}^\infty V_{2n} = e^\pi. \,</math>

== 参见 ==
* [[2的根号2次方]]
* [[格尔丰德-施奈德定理]]
* [[希尔伯特第七问题]]

== 参考文献 ==
<references/>

== 外部链接 ==
* [http://mathworld.wolfram.com/GelfondsConstant.html MathWorld]

[[Category:超越数]]
[[Category:数学常数]]