查看“E (数学常数)”的源代码

{{NoteTA
|T = zh-hans:''e'' (数学常数); zh-hant:''e'' (數學常數);
|G1 = Math
}}
{{Numbers}}
[[File:Exp derivative at 0.svg|right|frame|<math>e</math>是使在<math>x=0</math>点上 <math>f(x)=a^x</math>（蓝色曲线）的[[导数]]（切线的[[斜率]]）值为1之<math>a</math>的唯一值。对比一下，函数<math>2^x</math>（虚点曲线）和<math>4^x</math>（虚线曲线）和斜率为1、''y''-截距为1的直线（红色）并不相切。]]

<math>e</math>，作为[[數學常數]]，是[[自然對數]][[函數]]的[[底数 (对数)|底數]]。有時被稱為'''歐拉數'''（{{lang|en|Euler's number}}），以瑞士數學家[[歐拉]]命名；還有個較少見的名字'''納皮爾常數'''，用來紀念[[蘇格蘭]]數學家[[約翰·納皮爾]]引進[[對數]]。它是一个无限不循环小数，數值約是（小數點後20位，{{Oeis|A001113}}）：
:<math>e = 2.71828182845904523536\cdots</math>
__TOC__

== 歷史 ==
第一次提到[[常數]]<math>e</math>，是約翰·納皮爾於1618年出版的[[對數]]著作附錄中的一張表。但它沒有記錄這[[常數]]，只有由它為底計算出的一張自然對數列表，通常認為是由[[威廉·奧特雷德]]製作。第一次把<math>e</math>看為常數的是[[雅各布·伯努利]]，他嘗試計算下式的值：
:<math>\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math>。

已知的第一次用到常數<math>e</math>，是[[萊布尼茨]]於1690年和1691年給[[惠更斯]]的通信，以<math>b</math>表示。1727年[[歐拉]]開始用<math>e</math>來表示這常數；而<math>e</math>第一次在出版物用到，是1736年歐拉的《力學》（{{lang|en|''Mechanica''}}）。雖然往後年日有研究者用字母<math>c</math>表示，但<math>e</math>較常用，終於成為標準。

用<math>e</math>表示的確實原因不明，但可能因為<math>e</math>是「指數」（{{lang|en|exponential}}）一字的首字母。另一看法則稱<math>a, b, c, d</math>有其他經常用途，而<math>e</math>是第一個可用字母。

== 定義 ==
就像[[圓周率]]<math>\pi</math>和[[虛數單位|虛數單位{{Serif|''i''}}]]，<math>e</math>是數學中最重要的常數之一。它有幾種等價定義，下面列出一部分。
# 定義<math>e</math>爲下列[[極限 (數學)|極限]]值：
#:<math>e = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n</math>
#:<math>e = \lim_{t \to 0} (1 + t)^\frac{1}{t}</math>
# 定義<math>e</math>爲[[階乘倒數]]之[[無窮級數]]的和<ref>{{Citation | title=Iwanami Sūgaku Jiten | publisher=Iwanami Shoten | location=Tokyo | language=ja | edition=Fourth | isbn=978-4-00-080309-0 | mr=2383190 | year=2007}} 142.D</ref>：
#:<math>e = \sum_{n=0}^\infty {1 \over n!} = {1 \over 0!} + {1 \over 1!}
  + {1 \over 2!} + {1 \over 3!}
  + {1 \over 4!} + \cdots</math>
#: 其中<math>n!</math>代表<math>n</math>的[[階乘]]。
# 定義<math>e</math>爲唯一的正數<math>x</math>使得
#:<math>\int_{1}^{x} \frac{\mathrm{d}t}{t} = 1</math>
# 定義<math>e</math>爲唯一的實數<math>x</math>使得
#:<math>\lim_{h\to 0} \frac{x^h-1}{h} = 1</math>

這些定義可證明是等價的，请参见文章{{en-link|指数函数的特征描述|Characterizations of the exponential function}}。

== 性質 ==
[[Image:Xth root of x.svg|thumb|right|250px|<math>\sqrt[x]{x}</math> 的極大值在<math>x=e</math>.]]

很多增長或衰減過程都可以用指數函數模擬。[[指數函數]]<math>e^x</math>的重要性，在於它是唯一的函數（零[[多項式]]函數除外）與自身[[導數]]相等（乘以常數，最一般的函數形式為<math>ke^x</math>，<math>k</math>為任意常數）。即：
:<math>\frac{d}{dx} e^x=e^x</math>。
:<math>e^{x}</math>的[[泰勒級數]]為<math>e^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}\quad \forall x</math>
:<math>= 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + ...</math>

<math>x</math>為複數時依然成立，因此根據<math>\sin x</math>及<math>\cos x</math>的泰勒級數，得出在數學中一條稱為[[歐拉公式]]的重要等式：
:<math>e^{\mathrm{i}x} = \cos x + {\rm i}\sin x</math>

當<math>x = \pi</math>的特例是[[歐拉恆等式]]：
:<math>e^{\mathrm{i}\pi} + 1 = 0</math>

此式被[[理查德·費曼]]稱為「歐拉的寶石」。
:<math>(\cos x + i\sin x)^n = \left(e^{ix}\right)^n = e^{inx} = \cos (nx) + i \sin (nx)</math>

即[[棣莫弗公式]]。

* <math>e</math>是[[無理數]]和[[超越數]]（見[[林德曼－魏尔斯特拉斯定理]]）。這是第一個獲證為超越數的数，而非故意構造的（比較[[劉維爾數]]）；由[[夏爾·埃爾米特]]（{{Lang|en|Charles Hermite}}）於1873年證明。有猜想它為[[正規數]]。
* 当<math>x = e</math>时函數<math>f(x) = \sqrt[x]{x}</math>有最大值。
* <math>e</math>的無窮[[連分數]]展開式有個有趣的模式，可以表示如下（{{Oeis|A003417}}）
:<math>e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12, \ldots]</math>

就像以下的展開式：
:<math>e = 2+
\cfrac{1}
   {1+\cfrac{1}
      {\mathbf 2 +\cfrac{1}
         {1+\cfrac{1}
            {1+\cfrac{1}
               {\mathbf 4 +\cfrac{1}
                  {1+\cfrac{1}
                     {1+\cfrac{1}
                        {\mathbf 6 +\cfrac{1}
               {1+\ddots}
                        }
                     }
                  }
               }
            }
         }
      }
   }
</math>

== 無理數證明 ==
=== [[反證法]] ===
證明<math>e</math>是無理數可以用[[反證法]]。假設<math>e</math>是[[有理數]]，則可以表示成<math>\frac{a}{b}</math> ，其中<math>a, b</math>為正整數。以<math>e</math>的無窮級數展開式可以得出矛盾。

考慮數字
:<math>x = b! \left(e-\sum_{i=0}^b {1 \over i!}\right)</math>，

以下將推導出<math>x</math>是小於1的正整數；由於不存在這樣的正整數，得出矛盾，所以得證<math>e</math>是無理數。
* <math>x</math>是整數，因為
*:<math>0 < x = b! \left(e - \sum_{i=0}^b {1 \over i!}\right) = b! \left({a \over b} - \sum_{i=0}^b {1 \over i!}\right)</math>
*:<math>= a (b-1)! - \sum_{i=0}^b {b! \over i!}</math>
*:<math>= a (b-1)! - \left[
1 + \sum_{n=0}^{b-1} b(b-1)\cdots(n+1)\right]</math>。
* <math>x</math>是小於1的正數，因為
*:<math>0 < x = b! \sum_{n=b+1}^\infty {1 \over n!}</math>
*:<math>= \frac{1}{b+1} + \frac{1}{(b+1)(b+2)} + \frac{1}{(b+1)(b+2)(b+3)} + \cdots</math>
*:<math>< \frac{1}{b+1} + \frac{1}{(b+1)^2} + \frac{1}{(b+1)^3} + \cdots = {1 \over b} \le 1</math>。

但是0與1之間（不含0與1）不存在有整數，故原先假設矛盾，得出<math>e</math>為無理數。

=== [[二項式定理]] ===
視<math>n</math>為存在的數值，所以用[[二項式定理]]可證出：
:<math>e  = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math>
:<math>=\lim_{n\to\infty} \sum_{i=0}^{n}C_{i}^{n}1^{n-i}\left(\frac{1}{n}\right)^i</math>
:<math>=\lim_{n\to\infty} \left[C_{0}^{n}1^{n}\left(\frac{1}{n}\right)^0+C_{1}^{n}1^{n-1}\left(\frac{1}{n}\right)^1+C_{2}^{n}1^{n-2}\left(\frac{1}{n}\right)^2+C_{3}^{n}1^{n-3}\left(\frac{1}{n}\right)^3+...+C_{n}^{n}1^0\left(\frac{1}{n}\right)^n\right]</math>
:<math>=\lim_{n\to\infty} \left[1\times 1+n\times \frac{1}{n}+\frac{n!}{\left(n-2\right)!2!}\times \frac{1}{n^2}+\frac{n!}{\left(n-3\right)!3!}\times \frac{1}{n^3}+...+1\times \frac{1}{n^n}\right]</math>
:<math>=\lim_{n\to\infty} \left[1+1+\frac{n\times \left(n-1\right)}{2n^2}+\frac{n\times \left(n-1\right)\left(n-2\right)}{3\times 2n^3}+...+\frac{1}{n^n}\right]</math>
:<math>=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+...</math>
:<math>=2.71828...</math>

== 已知位数 ==
{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto"
|+ <math>e</math>的已知位数<ref>Sebah, P. and Gourdon, X.; [http://numbers.computation.free.fr/Constants/E/e.html The constant e and its computation]</ref><ref>Gourdon, X.; [http://numbers.computation.free.fr/Constants/PiProgram/computations.html Reported large computations with PiFast]</ref>
! 日期 || 位数 || 计算者
|-
| 1748年 || 18 || [[李昂哈德·歐拉]]
|-
| 1853年 || 137 || William Shanks
|-
| 1871年 || 205 || William Shanks
|-
| 1884年 || 346 || J. M. Boorman
|-
| 1946年 || 808 || ？
|-
| 1949年 || 2,010 || [[約翰·馮·諾伊曼]]
|-
| 1961年 || 100,265 || Daniel Shanks & [[約翰·倫奇|約翰·威廉·倫奇]]
|-
| 1978年 || 116,000 || [[史蒂夫·沃茲尼克|史蒂芬·蓋瑞·沃茲尼克]]
|-
| 1994年 || 10,000,000 || Robert Nemiroff & Jerry Bonnell
|-
| 1997年5月 || 18,199,978 || Patrick Demichel
|-
| 1997年8月 || 20,000,000 || Birger Seifert
|-
| 1997年9月 || 50,000,817 || Patrick Demichel
|-
| 1999年2月 || 200,000,579 || Sebastian Wedeniwski
|-
| 1999年10月 || 869,894,101 || Sebastian Wedeniwski
|-
| 1999年11月21日 || 1,250,000,000 || Xavier Gourdon
|-
| 2000年7月10日 || 2,147,483,648 || 近藤茂、Xavier Gourdon
|-
| 2000年7月16日 || 3,221,225,472 || Colin Martin、Xavier Gourdon
|-
| 2000年8月2日 || 6,442,450,944 || 近藤茂、Xavier Gourdon
|-
| 2000年8月16日 || 12,884,901,000 || 近藤茂、Xavier Gourdon
|-
| 2003年8月21日 || 25,100,000,000 || 近藤茂、Xavier Gourdon
|-
| 2003年9月18日 || 50,100,000,000 || 近藤茂、Xavier Gourdon
|-
| 2007年4月27日 || 100,000,000,000 || 近藤茂、Steve Pagliarulo
|-
| 2009年5月6日 || 200,000,000,000 || 近藤茂、Steve Pagliarulo
|-
| 2010年2月21日 || 500,000,000,000 || 余智恒（Alexander J. Yee）
|-
| 2010年7月5日 || 1,000,000,000,000 || 近藤茂、余智恒（Alexander J. Yee）
|-
| 2014年11月15日 || 1,048,576,000,000 || David Galilei Natale
|-
|}

== 諧取 ==
* 在[[Google]]2004年的[[首次公開募股]]，集資額不是通常的整頭數，而是$2,718,281,828，這當然是取最接近整數的<math>e</math>十億[[美元]]。（顺便一提，Google2005年的一次公開募股中，集資額是$14,159,265，与[[圆周率]]有关）
* [[Google]]也是首先在[[矽谷]]心臟地帶，接著在[[劍橋 (麻薩諸塞州)|麻薩諸塞州劍橋]]出現的神祕[https://web.archive.org/web/20060209040047/http://mattwalsh.com/twiki/pub/Main/GoogleBillboardContestFindingPrimesInE/IMG_0742.JPG 廣告版 ]的幕後黑手，它寫著{first 10-digit prime found in consecutive digits of ''e''}.com（在<math>e</math>的連續數字中第一個發現的十位質數.com）。解決了這問題（第一個<math>e</math>中的十位質數是7427466391，出奇地到很後才出現，由第100個數字開始），進入網站後還有個更難的題目要解決，最後會到達Google的招聘頁。但這個挑戰已結束，上述網站都已關閉。
* 著名[[電腦科學家]][[高德納]]的软件[[Metafont]]的版本號碼趨向<math>e</math>（就是說版本號碼是2，2.7，2.71，2.718等），与之相对的有[[TeX]]的版本号是趋向于[[圆周率]]的。

== 参见 ==
* [[无理数]]
* [[超越数]]
* [[欧拉数]]
* [[圆周率]]
* [[指数函数]]
* [[自然對數]]

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

[[Category:指数]]
[[Category:超越數]]
[[Category:数学常数]]
[[Category:对数]]