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'''K函数'''是[[階乘#hyper阶乘|hyper阶乘]]函数在[[复数 (数学)|复数]]上的扩展，如同[[Γ函数]]是[[阶乘]]函数在复数上的扩展。
K函数的定义为：

:<math>K(z)=(2\pi)^{(-z-1)/2} \exp\left[\begin{pmatrix} z\\ 2\end{pmatrix}+\int_0^{z-1} \ln(t!)\,dt\right].</math>

还可以写成闭合形式：

:<math>K(z)=\exp\left[\zeta^\prime(-1,z)-\zeta^\prime(-1)\right].</math>

其中，<math>\zeta^\prime(z)</math>表示[[黎曼ζ函數]]的[[导函数]]，而<math>\zeta^\prime(a,z)</math>则表示[[赫爾維茨ζ函数]]的导函数，即

:<math>\zeta^\prime(a,z)\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \left[\frac{d\zeta(s,z)}{ds}\right]_{s=a}.</math>

另一种使用[[多伽玛函数]]的表示形式是：<ref>[http://www.cs.cmu.edu/~adamchik/articles/polyg.htm Victor S. Adamchik. PolyGamma Functions of Negative Order]</ref>

:<math>K(z)=\exp\left(\psi^{(-2)}(z)+\frac{z^2-z}{2}-\frac z2 \ln (2\pi)\right).</math>

或者使用[[广义多伽玛函数]]表示为：<ref>[http://www.math.tulane.edu/~vhm/papers_html/genoff.pdf Olivier Espinosa Victor H. Moll. A Generalized polygamma function. Integral Transforms and Special Functions Vol. 15, No. 2, April 2004, pp. 101–115]</ref>

:<math>K(z)=A e^{\psi(-2,z)+\frac{z^2-z}{2}}.</math>
其中A表示[[格莱舍常数]]（Glaisher constant）。

K函数与[[Γ函数]]和[[巴尼斯G函数]]关系密切。对于自然数n，我们有：

:<math>K(n)=\frac{(\Gamma(n))^{n-1}}{G(n)}.</math>

还可以更简单地写为：

:<math>K(n+1)=1^1\, 2^2\, 3^3 \cdots n^n.</math>

前几项为：1、4、108、27648、86400000、4031078400000、3319766398771200000……([[OEIS]]中的[https://web.archive.org/web/20100114020316/http://www.research.att.com/~njas/sequences/A002109 第A002109号]数列).

==相关条目==
* [[Γ函数]]
* [[巴尼斯G函数]]

==参考==
{{reflist}}

==外部链接==
* {{mathworld|title=K-Function|urlname=K-Function}}

[[Category:伽玛及相关函数]]