查看“LQR控制器”的源代码

{{orphan|time=2018-02-13T21:57:15+00:00}}
{{refimprove|time=2018-02-13T21:54:22+00:00}}
[[最优控制]]理論主要探討的是讓[[动力系统]]以在最小成本來運作，若系統動態可以用一組[[线性微分方程]]表示，而其成本為[[二次函数|二次]][[泛函]]，這類的問題稱為線性二次（LQ）問題。此類問題的解即為'''線性二次調節器'''（{{lang-en|linear–quadratic regulator}}），簡稱'''LQR'''。

LQR是回授控制器，方程式在後面會提到。LQR是[[線性二次高斯控制|LQG（線性二次高斯）問題]]解當中重要的一部份。而LQG問題和LQR問題都是[[控制理论]]中最基礎的問題之一。
==簡介==
控制機器（例如飛機）的控制器，或是控制製程（例如化學反應）的控制器，可以進行[[最佳控制]]，方式是先設定[[損失函數|成本函數]]，再由工程師設定加權，利用數學[[演算法]]來找到使成本函數最小化的設定值。成本函數一般會定義為主要量測量（例如飛行高度或是制程溫度）和理想值的偏差的和。演算法會設法調整[[参数|參數]]，讓這些不希望出現的偏差降到最小。而控制量的大小本身也會包括在成本函數中。

LQR演算法減少了工程師為了讓控制器最佳化，而需付出的心力。不過工程師仍然要列出成本函數的相關參數，並且將結果和理想的設計目標比較。因此控制器的建構常會是[[迭代]]的，工程師在[[模擬]]過程中決定最佳控制器，再去調整參數讓結果更接近設計目標。

在本質上，LQR演算法是找尋合適[[状态空间|狀態回授控制器]]的[[自動化]]方式。因此也常會有[[控制工程]]師用其他替代方式，例如[[全狀態回授]]（也稱為極點安置）的作法，此作法對控制器參數和控制器性能之間的關係比較明確。而LQR演算法的困難之處在找合適的[[加權]]因子，這也限制了以LQR控制器合成的相關應用。

==有限時間長度，連續時間的LQR==

方程式如下的連續時間線性系統，<math>t\in[t_0,t_1]</math>：

:<math>\dot{x} = Ax + Bu</math>

其二次成本泛函為

:<math>J =  x^T(t_1)F(t_1)x(t_1)  + \int\limits_{t_0}^{t_1} \left( x^T Q x + u^T R u + 2 x^T N u \right) dt</math><!-- Q,R,N and other variables are not defined, making the formula useless. -->

其中F、Q和R都是正定[[矩陣]]。

可以讓成本最小化的回授控制律為

:<math>u = -K x \,</math>

其中<math>K</math>為

:<math>K = R^{-1} (B^T P(t) + N^T) \,</math>

而<math>P</math>是連續時間[[Riccati方程]]的解：

:<math>A^T P(t) + P(t) A - (P(t) B + N) R^{-1} (B^T P(t) + N^T) + Q = - \dot{P}(t) \,</math>

邊界條件如下

:<math>P(t_1) = F(t_1).</math>

J<sub>min</sub>的一階條件如下

'''(i) 狀態方程''' 
:<math>\dot{x} = Ax + Bu</math>

'''(ii) [[協態方程]]''' 
:<math>-\dot{\lambda} = Qx + Nu + A^T \lambda </math>

'''(iii) 靜止方程'''
:<math> 0 = Ru + N^Tx + B^T \lambda</math>

'''(iv) 邊界條件'''
:<math> x(t_0) = x_0</math>
且
<math> \lambda(t_1) = F(t_1) x(t_1)</math>

==無限時間長度，連續時間的LQR==

考慮以下的連續時間線性系統

:<math>\dot{x} = Ax + Bu</math>

其成本泛函為

:<math>J = \int_{0}^\infty \left( x^T Q x + u^T R u + 2 x^T N u \right) dt</math>

可以讓成本最小化的回授控制律為

:<math>u = -K x \,</math>

其中<math>K</math>定義為

:<math>K = R^{-1} (B^T P + N^T) \,</math>

而<math>P</math>是{{le|代數Riccati方程|Algebraic Riccati equation}}的解

:<math>A^T P + P A - (P B + N) R^{-1} (B^T P + N^T) + Q = 0 \,</math>

也可以寫成下式

:<math>\mathcal A^T P + P \mathcal A - P B R^{-1} B^T P + \mathcal Q = 0 \,</math>

其中

:<math>\mathcal A = A - B R^{-1} N^T \qquad  \mathcal Q = Q - N R^{-1} N^T \,</math>

==有限時間長度，離散時間的LQR==

考慮離散時間的線性系統，定義如下
<ref>{{cite book |last= Chow |first= Gregory C. |title= Analysis and Control of Dynamic Economic Systems |publisher= Krieger Publ. Co. |year= 1986  |isbn= 0-89874-969-7}}</ref>

:<math>x_{k+1} = A x_k + B u_k \,</math>

其性能指標為

:<math>J = x_N^T Q x_N + \sum\limits_{k=0}^{N-1} \left( x_k^T Q x_k + u_k^T R u_k + 2 x_k^T N u_k \right)</math>

可以讓性能指標最小化的最佳控制序列為

:<math>u_k = -F_k x_{k} \,</math>

其中

:<math>F_k = (R + B^T P_{k+1} B)^{-1} (B^T P_{k+1} A + N^T) \,</math>

而<math>P_k</math>是由動態Riccati方程倒退時間佚代計算而得

:<math>P_{k-1} = A^T P_k A - (A^T P_k B + N) \left( R + B^T P_k B \right)^{-1} (B^T P_k A + N^T) + Q </math>

從終端條件<math>P_N = Q</math>開始計算。注意<math>u_N</math>沒有定義，因為 <math>x</math> 是由<math>A x_{N-1} + B u_{N-1}</math>推導到其最終狀態 <math>x_N</math>。

==無限時間長度，離散時間的LQR==

考慮離散時間的線性系統，定義如下

:<math>x_{k+1} = A x_k + B u_k \,</math>

其性能指標為

:<math>J = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \left( x_k^T Q x_k + u_k^T R u_k + 2 x_k^T N u_k \right)</math>

可以讓性能指標最小化的最佳控制序列為

:<math>u_k = -F x_k \,</math>

其中

:<math>F = (R + B^T P B)^{-1} (B^T P A + N^T) \,</math>

而<math>P</math>是離散{{le|代數Riccati方程|Algebraic Riccati equation}}（DARE）的唯一正定解。

:<math>P = A^T P A - (A^T P B + N) \left( R + B^T P B \right)^{-1} (B^T P A + N^T) + Q </math>.

可以寫成

:<math>P = \mathcal A^T P \mathcal A - \mathcal A^T P B \left( R + B^T P B \right)^{-1} B^T P \mathcal A + \mathcal Q </math>

其中

:<math> \mathcal A = A - B R^{-1} N^T \qquad \mathcal Q = Q - N R^{-1} N^T </math>.

而求解代數Riccati方程的一個方式是迭代計算有限時間的動態Riccati方程，直到所得的解收斂為止。
==參考資料==
{{reflist}}
:*{{cite book
 |author1=Kwakernaak, Huibert  |author2=Sivan, Raphael
  |lastauthoramp=yes| year = 1972
 | title = Linear Optimal Control Systems.  First Edition
 | publisher = Wiley-Interscience
 | isbn = 0-471-51110-2
}}

:*{{cite book
 | last = Sontag
 | first = Eduardo
 | year = 1998
 | title = Mathematical Control Theory: Deterministic Finite Dimensional Systems. Second Edition
 | publisher = Springer
 | isbn = 0-387-98489-5
}}

==外部連結==
* [http://www.mathworks.com/help/toolbox/control/ref/lqr.html MATLAB function for Linear Quadratic Regulator design]
* [http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/LQRegulatorGains.html Mathematica function for Linear Quadratic Regulator design]
{{DEFAULTSORT:Linear-quadratic regulator}}
[[Category:最佳控制]]