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{{NoteTA |T = zh-hans:''n''维球面; zh-hant:''n''維球面; |G1 = Math }} [[File:Sphere-wireframe.png|thumb|2维球面的[[正交投影]]]] '''''n''维球面'''是普通的[[球面]]在任意[[维度]]的推广。它是(''n'' + 1)维空间内的''n''维[[流形]]。特别地,0维球面就是直线上的两个点,1维球面是[[平面 (数学)|平面]]上的[[圆]],2维球面是三维空间内的普通球面。高于2维的球面有时称为'''超球面'''。中心位于原点且半径为单位长度的''n''维球面称为'''单位''n''维球面''',记为''S''<sup>''n''</sup>。用符号来表示,就是: :<math>S^n = \left\{ x \in \mathbb{R}^{n+1} : \|x\| = 1\right\}.</math> ''n''维球面是(''n'' + 1)维[[球体]]的表面或边界,是''n''维流形的一种。对于''n'' ≥ 2,''n''维球面是[[单连通]]的''n''维流形,其曲率为正的常数。 == 描述 == [[File:Hypersphere_coord.gif|right|frame|三维球面的平行線(紅色)、 [[子午線]](藍色)以及超子午線(綠色)的[[立體投影|立體投影法]]。 因為立體投影法的[[共形]]特性,這些曲線彼此在交點上彼此正交(圖中黃色點),如同在四維空間中一樣。所有曲線都是圓;交會在<0,0,0,1>的曲線具有無限大的半徑(亦即直線)。]] 对于任何[[自然数]]''n'',[[半径]]为''r''的''n''维球面定义为(''n'' + 1)维[[欧几里得空间]]中到某个定点的距离等于常数''r''的所有点的集合,其中''r''可以是任何正的实数。它是(''n'' + 1)维空间内的''n''维[[流形]]。特别地: * 0维球面是直线上的两个点{''p'' − ''r'', ''p'' + ''r''}; * 1维球面是[[平面 (数学)|平面]]上的[[圆]]; * 2维球面是三维空间内的普通球面; * [[三维球面|3维球面]]是四维空间内的球面。 === (''n'' + 1)维空间中的欧几里得坐标 === (''n'' + 1)维空间中的点:(''x''<sub>1</sub>、''x''<sub>1</sub>、''x''<sub>2</sub>、……、''x''<sub>''n''+1</sub>)定义了一个''n''维球面('''S'''<sub>''n''</sub>),由以下方程表示: :<math>r^2=\sum_{i=1}^{n+1} (x_i - C_i)^2.\,</math> 其中''C''是中心点,''r''是半径。 以上的''n''维球面在(''n'' + 1)维空间中存在,是''n''维流形的一个例子。半径为<math>r</math>的''n''维球面的[[体积形式]]ω由下式给出: :<math>\omega = {1 \over r} \sum_{j=1}^{n+1} (-1)^{j-1} x_j \,dx_1 \wedge \cdots \wedge dx_{j-1} \wedge dx_{j+1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1} = * dr</math> 其中*是[[霍奇星算子]](关于讨论和这个公式在''r'' = 1的情形下的证明,请参见{{harvtxt|Flanders|1989|loc=§6.1}})。因此,<math>\scriptstyle{dr \wedge \omega = dx_1 \wedge \cdots \wedge dx_{n+1}}.</math> === ''n''维球体 === 由''n''维球面所包围的体积,称为(''n'' + 1)维[[球体]]。如果把球体的表面包括在内,则(''n'' + 1)维球体是[[闭集|封闭]]的,否则是[[开集|开放]]的。 特别地: * 1维球体,是一个[[线段]],是0维球面的内部。 * 2维球体,是一个[[圆盘]],是圆(1维球面)的内部。 * 3维球体,是一个普通的[[球体]],是球面(2维球面)的内部。 * 4维球体,是3维球面的内部。 == ''n''维球体的体积 == <math>(n-1)</math>维球面所包围的体积('''<math>n</math>维球体'''的体积)由以下公式给出: :<math>V_n={\pi^\frac{n}{2}R^n\over\Gamma(\frac{n}{2} + 1)}={C_n R^n}</math>, 其中<math>\Gamma</math>是[[伽玛函数]]。对于偶数<math>n</math>,<math>\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)= \left(\frac{n}{2}\right)!</math>;对于奇数<math>n</math>,<math>\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)= \sqrt{\pi} \frac{n!!}{2^{(n+1)/2}}</math>,其中<math>n!!</math>表示[[双阶乘]]。 由此可以推出,对于给定的<math>n</math>,常数<math>C_n</math>的值为: :<math>C_n={\frac{\pi^k}{k!}}</math>(对于偶数''n''=2''k''), :<math>C_n=C_{2k+1}=\frac{2^{2k+1} k!\, \pi^{k}}{(2k+1)!}</math>(对于奇数''n''=2''k''+1)。 这个(n-1)维球面的[[表面积]]是: :<math>S_{n-1}=\frac{dV_n}{dR}=\frac{nV_n}{R}={2\pi^\frac{n}{2}R^{n-1}\over\Gamma(\frac{n}{2})}={n C_n R^{n-1}}</math> ''n''维球面的表面积和体积之间有以下的关系: :<math>V_n/S_{n-1} = R/n\,</math> :<math>S_{n+1}/V_n = 2\pi R\,</math> 从此可以推导出递推关系: :<math>V_n = \frac{2 \pi R^2}{n} V_{n-2}\,</math> 这些公式也可以直接从''n''维[[球坐标系]]中的[[积分]]推出{{harv|Stewart|2006|p=881}}。 === 例子 === 对于较小的<math>n</math>,半径为<math>R</math>的<math>n</math>维球体体积<math>V_n</math>为如下: :{| |- |<math>V_0\,</math> |= |<math>1\,</math> | | |- |<math>V_1\,</math> |= |<math>2\,R</math> |<math>\approx</math> |<math>2.00000 \,R</math> |- |<math>V_2\,</math> |= |<math>\pi\,R^2</math> |<math>\approx</math> |<math>3.14159 \,R^2</math> |- |<math>V_3\,</math> |= |<math>\frac{4 \pi}{3}\,R^3</math> |<math>\approx</math> |<math>4.18879 \,R^3</math> |- |<math>V_4\,</math> |= |<math>\frac{\pi^2}{2}\,R^4</math> |<math>\approx</math> |<math>4.93480 \,R^4</math> |- |<math>V_5\,</math> |= |<math>\frac{8 \pi^2}{15}\,R^5</math> |<math>\approx</math> |<math>5.26379 \,R^5</math> |- |<math>V_6\,</math> |= |<math>\frac{\pi^3}{6}\,R^6</math> |<math>\approx</math> |<math>5.16771 \,R^6</math> |- |<math>V_7\,</math> |= |<math>\frac{16 \pi^3}{105}\,R^7</math> |<math>\approx</math> |<math>4.72477 \,R^7</math> |- |<math>V_8\,</math> |= |<math>\frac{\pi^4}{24}\,R^8</math> |<math>\approx</math> |<math>4.05871 \,R^8</math> |} 但当 <math>n</math> 趋于无穷大时,<math> \frac{V_n}{R^n}</math> 趋于0。 如果维度''n''不限于整数,那么n维球面的体积就是''n''的[[连续函数]],它的[[极大值]]位于''n'' = 5.2569464...,体积为5.277768...。当''n'' = 0或''n'' = 12.76405...时,体积为1。 单位''n''维球面的外切[[超正方体]]的边长为2,因此体积为2<sup>''n''</sup>;当维度增加时,''n''维球面的体积与外切于它的超正方体的体积之比单调减少。 == 超球坐标系 == 我们可以定义n维空间内的坐标系统,与3维空间内的[[球坐标系]]类似,由径向坐标<math>\ r</math>和<math>\ n-1</math>个角度坐标<math>\ \phi _1 , \phi _2 , ... , \phi _{n-1}</math>组成。如果<math>\ x_i</math>是笛卡儿坐标系,那么我们可以定义: :<math>x_1=r\cos(\phi_1)\,</math> :<math>x_2=r\sin(\phi_1)\cos(\phi_2)\,</math> :<math>x_3=r\sin(\phi_1)\sin(\phi_2)\cos(\phi_3)\,</math> :<math>\cdots\,</math> :<math>x_{n-1}=r\sin(\phi_1)\cdots\sin(\phi_{n-2})\cos(\phi_{n-1})\,</math> :<math>x_n~~\,=r\sin(\phi_1)\cdots\sin(\phi_{n-2})\sin(\phi_{n-1})\,</math> 从中可以推出逆变换的公式: :<math>\tan(\phi_{n-1})=\frac{x_n}{x_{n-1}}</math> :<math>\tan(\phi_{n-2})=\frac{\sqrt{{x_n}^2+{x_{n-1}}^2}}{x_{n-2}}</math> :<math>\cdots\,</math> :<math>\tan(\phi_{1})=\frac{\sqrt{{x_n}^2+{x_{n-1}}^2+\cdots+{x_2}^2}}{x_{1}}</math> 注意最后一个角<math>\phi _{n-1}</math>的值域为<math>2\pi</math>,而其它角的值域为<math>\pi</math>。这个值域覆盖了整个球面。 ''n''维空间内的[[体积元素]]可以从变换的[[雅可比行列式]]得出: :<math>d_{\mathbb{R}^n}V = \left|\det\frac{\partial (x_i)}{\partial(r,\phi_j)}\right| dr\,d\phi_1 \, d\phi_2\ldots d\phi_{n-1}</math> :<math>=r^{n-1}\sin^{n-2}(\phi_1)\sin^{n-3}(\phi_2)\cdots \sin(\phi_{n-2})\, dr\,d\phi_1 \, d\phi_2\cdots d\phi_{n-1}</math> 以上n维球体的体积方程可以通过积分来重新得出: :<math>V_n=\int_{r=0}^R \int_{\phi_1=0}^\pi \cdots \int_{\phi_{n-2}=0}^\pi\int_{\phi_{n-1}=0}^{2\pi}d_{\mathbb{R}^n}V. \,</math> (''n''-1)–维球面的体积元素是2维球面的[[面积元素]]的推广,由以下公式给出: :<math>d_{S^{n-1}}V = \sin^{n-2}(\phi_1)\sin^{n-3}(\phi_2)\cdots \sin(\phi_{n-2})\, d\phi_1 \, d\phi_2\ldots d\phi_{n-1}</math> == 球极平面投影 == 就像三维空间中的二维球面可以通过[[球极平面投影]]映射到二维平面上一样,一个n维球面也可以通过球极平面投影的n维形式映射到n维超平面。例如,半径为1的二维球面上的点<math>\ [x,y,z]</math>映射到<math>\ xy</math>平面上的点<math>\ [x,y,z] \mapsto \left[\frac{x}{1-z},\frac{y}{1-z}\right]</math>。也就是说: :<math>\ [x,y,z] \mapsto \left[\frac{x}{1-z},\frac{y}{1-z}\right].</math> 类似地,半径为1的n维球面<math>\mathbf{S}^{n-1}</math>的球极平面投影映射到垂直于<math>\ x_n</math>轴的n-1维超平面<math>\mathbf{R}^{n-1}</math>: :<math>[x_1,x_2,\ldots,x_n] \mapsto \left[\frac{x_1}{1-x_n},\frac{x_2}{1-x_n},\ldots,\frac{x_{n-1}}{1-x_n}\right].</math> == 参见 == * [[共形几何]] * [[同调球]] * [[球的同伦群]] * [[同伦球]] * [[双曲群]] * [[超正方体]] * [[反演几何]] * [[正交群]] * [[莫比乌斯变换]] == 参考文献 == * {{Citation | last1=Flanders | first1=Harley | title=Differential forms with applications to the physical sciences | publisher=[[Dover Publications]] | location=New York | isbn=978-0-486-66169-8 | year=1989}}. * {{Citation | last1=Moura | first1=Eduarda | last2=Henderson | first2=David G. | title=Experiencing geometry: on plane and sphere | url=http://www.math.cornell.edu/~henderson/books/eg00 | publisher=[[Prentice Hall]] | isbn=978-0-13-373770-7 | year=1996}}(第20章:3-spheres and hyperbolic 3-spaces) * {{Citation | last1=Weeks | first1=Jeffrey R. | author1-link=Jeffrey Weeks (mathematician) | title=The Shape of Space: how to visualize surfaces and three-dimensional manifolds | publisher=Marcel Dekker | isbn=978-0-8247-7437-0 | year=1985}}(第14章:The Hypersphere) * Marsaglia, G. "Choosing a Point from the Surface of a Sphere." Ann. Math. Stat. 43, 645-646, 1972. * {{citation|title=Calculus: Concepts and Contexts|edition=3rd|first=James|last=Stewart|publisher=Thomson/Brooks/Cole|year=2006}}. == 外部链接 == * {{MathWorld|title=超球面|urlname=Hypersphere}} [http://spaces.ac.cn/index.php/archives/3154/ 科学空间:求n维球的体积http://spaces.ac.cn/index.php/archives/3154/] {{模板:维度}} [[Category:四维几何]] [[Category:多维几何]]
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