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'''q阶乘幂'''是[[阶乘幂]]的[[Q-模拟]]<ref>Exton, H. (1983), ''q-Hypergeometric Functions and Applications'', New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, ISBN 0853124914,  ISBN 0470274530, ISBN 978-0470274538</ref>。与阶乘幂在[[广义超几何函数]]中的作用类似，q阶乘幂也是定义[[基本超几何函数]]的基础。

==定义==

===''n''为正整数时===

:当''n''为正整数时,q阶乘幂定义为

::<math>(a;q)_n = \prod_{k=0}^{n-1} (1-aq^k)=(1-a)(1-aq)(1-aq^2)\cdots(1-aq^{n-1}),</math>

===''n''为0时===

:当''n''为0时,q阶乘幂定义为

::<math>(a;q)_0 = 1.</math>

===''n''为无穷大时===

:与一般的阶乘幂不同的是，q阶乘幂可以扩展成一个[[无穷乘积]]

::<math>(a;q)_\infty = \prod_{k=0}^{\infty} (1-aq^k),</math>

:这时它是一个关于q在[[单位圆盘]]内的[[解析函数]]，也可以考虑为一个关于q的[[形式幂级数]]。其中一个特殊情况

::<math>\phi(q) = (q;q)_\infty=\prod_{k=1}^\infty (1-q^k)</math>

:被称为[[歐拉函數 (複變函數)|欧拉函数]]。

===''n''为负数时===

:有限q阶乘幂可以用无穷q阶乘幂表示

::<math>(a;q)_n = \frac{(a;q)_\infty} {(aq^n;q)_\infty}, </math>

:这样就能把q阶乘幂扩展到''n''为负整数的情况：对于非负整数''n''，有

::<math>(a;q)_{-n} = \frac{1}{(aq^{-n};q)_n}=\prod_{k=1}^n \frac{1}{(1-a/q^k)}</math>

:以及

::<math>(a;q)_{-n} = \frac{(-q/a)^n q^{n(n-1)/2}} {(q/a;q)_n}.</math>

==多变量的写法==

因为很多关于q阶乘幂的等式都含有多个q阶乘幂相乘，因此在标准写法中用一个含有多个变量的q阶乘幂来表示这个乘积：

:<math>(a_1,a_2,\ldots,a_m;q)_n = (a_1;q)_n (a_2;q)_n \ldots (a_m;q)_n.</math>


==图集==
<gallery>

File:Qpochammer2.png|::<math>(a;b)_2</math>
File:Qpochammer3.png|::<math>(a;b)_3</math>
File:Qpochammer4.png|::<math>(a;b)_4</math>
File:Qpochammer5.png|::<math>(a;b)_5</math>

</gallery>
==参考文献==
<references/>

[[Category:数论]]
{{q超几何函数}}