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在[[数学]]里，尤其是[[组合数学]]和[[特殊函数]]领域，一个定理、等式或者表达式的'''''q''-模拟'''是指在引入一个新的参数''q''后当''q''&rarr;1时原定理、等式或表达式的[[极限]]。最早地研究得较为深入的''q''-模拟是 19世纪<ref>Exton, H. (1983), ''q-Hypergeometric Functions and Applications'', New York:  Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, ISBN 0853124914 ,  ISBN 0470274530 , ISBN 978-0470274538</ref>被引入的[[基本超几何级数]]。

''q''-模拟在包括[[分形]]、[[多重分形]], 混沌[[动力系统]]的[[熵]]表达在内的多个研究领域都有应用。另外，在[[量子群]] 和 ''q''-变形 [[代数]]的研究中也有应用。

"经典" q-模拟开始于[[莱昂哈德·欧拉]]的研究工作，后来由[[Frank Hilton Jackson|F. H. Jackson]]<ref>F. H. Jackson (1908), "On q-functions and a certain difference operator",  ''Trans. Roy. Soc. Edin.'',  '''46''' 253-281.</ref> 以及其他人<ref name="Ernst2003">{{cite journal |last1=Ernst |first1=Thomas |year=2003 |title=A Method for q-calculus |journal=Journal of Nonlinear Mathematical Physics |volume=10 |issue=4 |pages=487–525 |publisher= |doi= |url=http://www.solnaschack.org/ernst/ernst_10-4cor.pdf|accessdate=2011-07-27}}</ref>所扩展。

=="经典" ''q''-理论==
经典 ''q''-理论开始于非负整数的''q''-模拟。<ref name="Ernst2003"/>  等式

<math>\lim_{q\rightarrow 1}\frac{1-q^n}{1-q}=n</math>

表示定义''n''的''q''-模拟为

<math>[n]_q=\frac{1-q^n}{1-q} = 1 + q + q^2 + \ldots + q^{n - 1}.
</math>

[[阶乘]]的''q''-模拟，称作[[q-阶乘]]，被定义为


<math>\big[n]_q!</math>
<math>=[1]_q  \cdot [2]_q \cdots [n-1]_q  \cdot [n]_q</math>

<math>=\frac{1-q}{1-q} \cdot \frac{1-q^2}{1-q} \cdots \frac{1-q^{n-1}}{1-q} \cdot \frac{1-q^n}{1-q}</math>

<math>=1\cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots + q^{n-2}) \cdot (1+q+\cdots + q^{n-1}).</math>


[''n'']<sub>''q''</sub>! 表示[[逆序对]]的数目。如果 inv(''w'')表示全排列''w'' 的逆序对，''S''<sub>''n''</sub>表示''n''全排列的集合, 则有

<math> \sum_{w \in S_n} q^{\text{inv}(w)} = [n]_q ! .</math>

特别地, 当取极限<math>q\rightarrow 1</math>时就得到一般的阶乘公式。  

根据''q''-阶乘, 可以定义 '''''q''-二项式系数''', 也被称作高斯系数, 高斯多项式, 或[[高斯二项式系数]]:

<math>
\binom{n}{k}_q
=
\frac{[n]_q!}{[n-k]_q! [k]_q!}.
</math>


[[q-指数]]定义为:

<math>e_q^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{[n]_q!}.</math>

===组合''q''-模拟===
高斯二项式系数计算一个有限维[[向量空间]]的子空间数。令''q''表示一个[[有限域]]里的元素数目，则在''q''元有限域上''n''维向量空间的''k''维子空间数等于
<math>
\binom nk_q .
</math>
当''q''等于1时, 得到二项式系数
<math>
\binom nk.
</math>

==参考文献==
<references/>
* [http://mathworld.wolfram.com/q-Analog.html ''q''-analog] from [[MathWorld]]
* [http://mathworld.wolfram.com/q-Bracket.html ''q''-bracket] from [[MathWorld]]
* [http://mathworld.wolfram.com/q-Factorial.html ''q''-factorial] from [[MathWorld]]
* [http://mathworld.wolfram.com/q-BinomialCoefficient.html ''q''-binomial coefficient] from [[MathWorld]]

==外部链接==
*{{Springer|id=/U/u095050|title=Umbral calculus}}

[[Category:组合数学]]
[[Category:Q-模拟| ]]