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'''Riccati方程'''是形式如<math>y' = q_0(x) + q_1(x) y + q_2(x) y^2</math> 的[[常微分方程]]。

== 解法 ==
先同乘<math> q_2(x)</math>，使得<math>q_2y' = q_0q_2 + q_1q_2 y + q_2^2 y^2</math>

再以<math>v = y q_2</math>代入：

: <math>v' = v^2 + P(x)v + Q(x)</math>；其中令 <math>Q(x) = q_0q_2;P(x)=q_1+\frac{q_2'}{q_2}</math> 。

再以<math>v = -\frac{u'}{u}</math>代入上式。

:# <math>v'=-\left(\frac{u'}{u}\right)'=-\frac{u''}{u} +\left(\frac{u'}{u}\right)^2=-\frac{u''}{u}+v^2\!</math>
则
:<math>\frac{u''}{u}= v^2 -v'=-Q -Pv= -Q+P\frac{u'}{u}</math>
因此
:<math>u'' -Pu' +Qu=u'' -(q_1+\frac{q_2'}{q_2})u' +q_0q_2u=0</math>
最终 <math>y=-\frac{u'}{q_2u}</math>.

== Schwarzian方程上的應用 ==
: <math>S(w) \equiv \left(\frac{w''}{w'}\right)' - \frac{\left(\frac{w''}{w'}\right)^2}{2} = f</math>

顯然可設<math>y = \frac{w''}{w'}</math>：
: <math>y' - \frac{y^2}{2} = f</math>
再代入 <math>-\frac{2u'}{u} = y</math> ，得線性微分方程：
: <math>u'' - \frac{1}{2} fu = 0</math>

因為 <math>\frac{w''}{w'} = -\frac{2u'}{u}</math> ，積分得<math>w' =\frac{C}{u^2}</math>。另一方面，若線性微分方程有其他線性獨立解U，則有：
: <math>w' = \frac{U'u-Uu'}{u^2}</math>
: <math>w = \frac{U}{u}</math>

== 已知某一特定解 ==
已知 <math>y = y_1</math> 是一特定解，可設通解<math>y = y_1 + \frac{1}{z}</math>，代入整理得[[一階線性常微分方程]]：

: <math>z' + (q_1 + 2 q_2 y_1) z = - q_2</math>

== 参见 ==
*[[LQR控制器]]
*[[伯努利微分方程]]
*[[柯西-欧拉方程]]
*[[克莱罗方程]]
*[[全微分方程]]
*[[线性微分方程]]

[[Category:微分方程]]