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{{DISPLAYTITLE:{{Unicode|SL<sub>2</sub>(ℝ)}}}}{{Groups}}
在[[数学]]中，[[特殊线性群]] {{Unicode|'''SL₂(ℝ)'''}} 是[[行列式]]为 {{Serif|1}} 的 {{Serif|2×2}} [[实数|实]][[矩阵]]组成的群：
: <math>\mbox{SL}_2(\mathbb{R}) = \left\{ \begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix} : a,b,c,d\in\mathbb{R}\right.\,</math>，且 <math>ad-bc=1\Bigg\}\,</math>．

它是一个三维[[李群]]，在[[几何]]、[[拓扑]]、[[表示论]]及[[物理]]中有重要应用．

与 {{Unicode|SL₂(ℝ)}} 密切相关的是[[射影线性群]] {{Unicode|PSL₂(ℝ)}}。这是将 {{Unicode|SL₂(ℝ)}} 中每个元素与它的负元素等同得到的[[商群|商]]： 

: <math>\mbox{PSL}_2(\mathbb{R}) = \mbox{SL}_2(\mathbb{R})/\{-1,+1 \}.\,</math>

一些作者将这个群记做 {{Unicode|SL(2,ℝ)}}．这是一个[[单李群]]，包含[[模群]] {{Unicode|PSL₂(ℤ)}}．

== 描述 ==

SL<sub>2</sub>({{Unicode|ℝ}}) 是 {{Unicode|ℝ}}<sup>2</sup> 上所有保持[[定向 (数学)|定向]][[面积]]的[[线性变换]]群。它[[群同构|同构]]于[[辛群]] Sp<sub>2</sub>({{Unicode|ℝ}}) 以及广义[[特殊酉群]] SU(1,1)。它也同构于单位长[[分裂四元数|共四元数]]群。

商 PSL<sub>2</sub>({{Unicode|ℝ}}) 有多个有趣的描述：
* 它是[[实射影直线]] <math>\mathbb{R}\cup\{\infty\}</math> 上保持[[定向 (数学)|定向]]的[[射影变换]]群。
* 它是[[单位圆盘]]的[[共形映射|共形]][[自同构]]群。
* 它是[[双曲平面]]保持定向的[[等距]]群。
* 它是三维[[闵可夫斯基空间]]的[[洛伦兹群|限制洛伦兹群]]。等价地，它同构于[[不定正交群]] SO<sup>+</sup>(1,2)。从而 SL<sub>2</sub>({{Unicode|ℝ}}) 同构于[[旋量群]] Spin(2,1)<sup>+</sup>。

=== 线性分式变换 ===
PSL<sub>2</sub>({{Unicode|ℝ}}) 的元素做为'''线性分式变换'''作用在[[实射影直线]] <math>\mathbb{R}\cup\{\infty\}</math> 上：

: <math>x \mapsto \frac{ax+b}{cx+d}. </math>

这类似于 PSL<sub>2</sub>({{Unicode|ℂ}}) 通过[[莫比乌斯变换]]在[[黎曼球面]]上的作用。这是 PSL<sub>2</sub>({{Unicode|ℝ}}) 在双曲平面上的作用限制到无穷远边界。

=== 莫比乌斯变换 ===
PSL<sub>2</sub>({{Unicode|ℝ}}) 中的元素通过莫比乌斯变换作用在复平面上：

: <math>z \mapsto \frac{az+b}{cz+d}\;\;\;(\,</math> 这里 <math>a,b,c,d\in\mathbb{R}\mbox{)}.\,</math>

这正好是保持[[上半平面]]的莫比乌斯变换集合。从而 PSL<sub>2</sub>({{Unicode|ℝ}}) 是上半平面的共形自同构群。由[[黎曼映射定理]]，它也是单位圆盘的共形自同构群。

这些莫比乌斯变换是双曲空间[[庞加莱半平面模型|上半平面模型]]的等距，而圆盘相应的莫比乌斯变换是[[庞加莱圆盘模型]]的双曲等距。

=== 伴随表示 ===
群 SL<sub>2</sub>({{Unicode|ℝ}}) 通过[[共轭]]作用在它的[[李代数]] SL<sub>2</sub>({{Unicode|ℝ}}) 上，导致 PSL<sub>2</sub>({{Unicode|ℝ}}) 的一个忠实 3 维线性[[群表示|表示]]。这也可以描述为 {{Unicode|PSL₂(ℝ)}} 作用在 {{Unicode|ℝ²}} 上的[[二次型]]上。结果是如下表示

:<math>\begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix}
a^2 & 2ac & c^2 \\
ab & ad+bc & cd \\
b^2 & 2bd & d^2
\end{bmatrix}.</math>

sl<sub>2</sub>({{Unicode|ℝ}}) 上的[[基灵型]]有[[度量符号|符号]] (2,1)，诱导了 PSL<sub>2</sub>({{Unicode|ℝ}}) 与[[洛伦兹群]] SO<sup>+</sup>(2,1) 之间一个同构。PSL<sub>2</sub>({{Unicode|ℝ}}) 在[[闵可夫斯基空间]]上的作用限制成 PSL<sub>2</sub>({{Unicode|ℝ}}) 在双曲空间的[[双曲面模型]]上的等距。

== 元素的分类 ==
SL<sub>2</sub>({{Unicode|ℝ}}) 中一个元素 ''A'' 的[[本征值]]满足[[特征多项式]]

:<math> \lambda^2 \,-\, \mathrm{tr}(A)\,\lambda \,+\, 1 \,=\, 0,\,</math>
从而

:<math> \lambda = \frac{\mathrm{tr}(A) \pm \sqrt{\mathrm{tr}(A)^2 - 4}}{2}. \,</math>

这导致了如下元素分类：
* 如果 | tr(''A'') | < 2，则 ''A'' 称为'''椭圆型'''。

* 如果 | tr(''A'') | = 2，则 ''A'' 称为'''抛物型'''。

* 如果 | tr(''A'') | > 2，则 ''A'' 称为'''双曲型'''。
=== 椭圆型元素 ===
椭圆型元素的本征值都是复数，是[[单位圆周]]上的[[复共轭|共轭]]值。这样的元素的作用是欧几里得空间中的[[旋转]]，相应的 PSL<sub>2</sub>({{Unicode|ℝ}}) 元素之作用是双曲平面与闵可夫斯基空间的旋转。

[[模群]]的椭圆型元素的本征值一定为 {''ω'', 1/''ω''} 形式，其中 ''ω'' 是一个本原3次、4次、或6次[[单位根]]。他们是模群中所有有限[[阶 (群论)|阶]]元素，他们作用在[[环面]]上是周期性微分同胚。

=== 抛物型元素 ===
抛物型元素只有一个本征值，1 或者 -1。这样的元素作用在欧几里得平面上是[[错切]]映射，相应 PSL<sub>2</sub>({{Unicode|ℝ}}) 中元素作用在双曲平面上是[[极限旋转]]（{{lang|en|limit rotation}}），在闵可夫斯基空间上的作用是[[洛伦兹群#共轭类|零旋转]]。

模群的抛物型元素作用在环面上是[[德恩扭转]]（{{link-en|Dehn twist|Dehn twist}}）。

=== 双曲型元素 ===
双曲型元素的[[本征值]]都是实数，互为倒数。这样一个元素作用在欧几里得空间上是[[挤压映射]]（{{link-en|squeeze mapping|squeeze mapping}}），相应的 PSL<sub>2</sub>({{Unicode|ℝ}}) 元素作用在双曲平面是[[平移]]，在闵可夫斯基空间上的作用是[[洛伦兹群|洛伦兹递升]]。

模群的双曲型元素作用在环面上是[[阿诺索夫微分同胚]]（{{link-en|Anosov diffeomorphism|Anosov diffeomorphism}}）。

== 拓扑和万有覆盖 ==
做为一个[[拓扑空间]]，PSL<sub>2</sub>(''R'') 可以描述为双曲平面的[[单位切丛]]，这是一个[[圆丛]]，有由双曲平面上[[辛结构]]诱导的自然[[切触结构]]。SL<sub>2</sub>(''R'') 是 PSL<sub>2</sub>(''R'') 的二重覆盖，可以认为是双曲平面上的[[旋量丛]]。

SL<sub>2</sub>(''R'') 的基本群是无限[[循环群]] {{Unicode|ℤ}}。其[[覆盖群#万有覆盖群|万有覆盖群]]记做 <math>\overline{\mbox{SL}_2(\mathbb{R})}</math>，是一个有限维李群但不是[[矩阵群]]。即 <math>\overline{\mbox{SL}_2(\mathbb{R})}</math> 没有[[忠实表示|忠实]]有限维[[群表示|表示]]。

做为一个拓扑空间，<math>\overline{\mbox{SL}_2(\mathbb{R})}</math> 是双曲平面上一个[[线丛]]。若赋予一个左不变[[黎曼度量|度量]]，[[3-流形]] <math>\overline{\mbox{SL}_2(\mathbb{R})}</math> 成为[[几何化猜想#瑟斯顿八几何|瑟斯顿八几何]]之一。例如，<math>\overline{\mbox{SL}_2(\mathbb{R})}</math> 是任何[[黎曼曲面|双曲曲面]]的单位切丛的万有覆盖。任何以 <math>\overline{\mbox{SL}_2(\mathbb{R})}</math> 为模型的流形是[[可定向]]的，也是一个二维双曲[[轨形]]上的圆丛（一个[[塞弗特纤维空间]]（{{link-en|Seifert fiber space|Seifert fiber space}}））。

== 代数结构 ==
SL<sub>2</sub>({{Unicode|ℝ}}) 的[[中心 (群论)|中心]]是两个元素的群 {-1,1}，[[商群|商]] PSL<sub>2</sub>({{Unicode|ℝ}}) 是[[单群]]。

PSL<sub>2</sub>({{Unicode|ℝ}}) 的离散子群称为[[富克斯群]]（{{link-en|Fuchsian group|Fuchsian group}}）。他们是欧几里得[[壁纸群]]（{{link-en|wallpaper group|wallpaper group}}）和[[饰带群]]（{{link-en|Frieze group|Frieze group}}）的双曲类比。最有名的是[[模群]] PSL<sub>2</sub>({{Unicode|ℤ}})，它作用在双曲平面由理想三角形形成的嵌图上。

[[圆群]][[正交群|SO(2)]]是 SL<sub>2</sub>({{Unicode|ℝ}}) 的一个[[极大紧子群]]，圆 SO(2)/{-1,+1} 是 PSL<sub>2</sub>({{Unicode|ℝ}}) 的一个极大紧子群。

PSL<sub>2</sub>({{Unicode|ℝ}}) 的[[舒尔乘子]]（{{link-en|Schur multiplier|Schur multiplier}}）是 [[整数|{{Unicode|ℤ}}]]，万有[[群扩张#中心扩张|中心扩张]]与万有覆盖群相同。

== 表示理论 ==
{{main|SL2(R)的表示理论}}
SL<sub>2</sub>({{Unicode|ℝ}}) 是一个实非紧[[单李群]]，也是复李群 SL<sub>2</sub>({{Unicode|ℂ}}) 的分裂实形式。SL<sub>2</sub>({{Unicode|ℝ}}) 的[[李代数]]记做 sl<sub>2</sub>({{Unicode|ℝ}})，是所有[[迹|迹为零]]的 2×2 实矩阵。 它是 VIII 型[[比安基分类|比安基代数]]。

SL<sub>2</sub>({{Unicode|ℝ}}) 的有限维表示理论等价于[[SU(2)的表示理论]]，这是 SL<sub>2</sub>({{Unicode|ℂ}}) 的紧实形式。特别地 SL<sub>2</sub>({{Unicode|ℝ}}) 没有非平凡有限维[[酉表示]]。

SL<sub>2</sub>({{Unicode|ℝ}}) 的无限维表示理论相当有意思。这个群有多类酉表示，这被[[以色列·盖尔范德|盖尔范德]]、[[马克·奈马克|奈马克]] (1946)、[[华伦泰·巴格曼|巴格曼]] (1947)、[[Harish-Chandra]] (1952) 详细地解决了。

== 另见 ==

* [[线性群]]
* [[特殊线性群]]
* [[射影线性群]]（{{lang|en|projective linear group}}）
* [[双曲等距]]（{{lang|en|hyperbolic isometry}}）
* [[模群]]（{{link-en|modular group|modular group}}）
* [[莫比乌斯变换]]
* [[射影变换]]
* [[富克斯群]]（{{link-en|Fuchsian group|Fuchsian group}}）
* [[李群列表]]（{{link-en|Table of Lie groups|Table of Lie groups}}）

== 参考文献 ==
*V. Bargmann, [http://links.jstor.org/sici?sici=0003-486X%28194707%292%3A48%3A3%3C568%3AIUROTL%3E2.0.CO%3B2-Z, ''Irreducible Unitary Representations of the Lorentz Group'']，The Annals of Mathematics, 2nd Ser., Vol. 48, No. 3 (Jul., 1947), pp. 568-640
* Gelfand, I.; Neumark, M. ''Unitary representations of the Lorentz group.'' Acad. Sci. USSR. J. Phys. 10, (1946), pp. 93--94
* Harish-Chandra, ''Plancherel formula for the 2×2 real unimodular group.'' Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 38 (1952), pp. 337--342
* Serge Lang, ''SL2(R).'' Graduate Texts in Mathematics, 105. ''Springer-Verlag, New York'', 1985. ISBN 0-387-96198-4
* William Thurston. ''Three-dimensional geometry and topology. Vol. 1''. Edited by Silvio Levy. Princeton Mathematical Series, 35. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1997. x+311 pp. ISBN 0-691-08304-5

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