查看“Sinc函数”的源代码

{{No reference |time=2019-11-6}}

[[File:Sinc function (both).svg|thumb|right|在 ''x''&nbsp;=&nbsp;−6π 到 6π 区间显示在同样尺度上的归一化 sinc(x)（蓝色）与非归一化 sinc 函数（红色）]]

'''sinc函数'''（{{lang-en|'''sinc function'''}}）是一種[[函數]]，在不同的領域它有不同的定義。數學家們用符號 <math>\mathrm{sinc}(x)\,</math> 表示這種函數。
sinc函数可以被定義为'''归一化的'''或者'''非归一化的'''，不過兩種函數都是[[正弦函数]]和[[单调函数|单调的]][[递减函数]] 1/''x''的乘积：
# 在[[數位訊號處理|-{zh-tw:數位訊號處理; zh-cn:数字信号处理; zh-hk:數碼訊號處理;}-]]和[[通信理论]]中，人們把'''归一化sinc函数'''定义为
#:對於所有{{math|''x'' ≠ 0}}，<math>\mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}</math>
# 在[[数学]]领域中，人們以前使用的'''非归一化sinc函数''' （for ''sinus cardinalis''）被定义为
#:對於所有{{math|''x'' ≠ 0}}， <math>\mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin(x)}{x}</math>

在这两种情况下，當x=0時sinc函数的值被定义为以下的極限值，因此 sinc 函数是处处可解析的。
:對於任何實數 {{math|''a'' ≠ 0}}，<math>\operatorname{sinc}(0):=\lim_{x\to 0}\frac{\sin(a x)}{a x}= 1</math>

'''非归一化'''sinc函数等同于'''归一化'''sinc函数，只是它的变量中没有放大系数 π 。

== 属性 ==
[[File:Re Sinc complex plot.JPG|thumb|Re Sinc complex plot]]
[[File:Im Sinc complex plot.JPG|thumb|Im Sinc complex plot]]
[[File:Abs Sinc complex plot.JPG|thumb|Abs Sinc complex plot]]
'''归一化''' sinc 函数的特性使得它在插值与带限函数中得到理想应用：

* 对于 <math>k\ne 0\,</math> 与 <math>k\in\mathbb{Z}\,</math>（[[整数]]），<math>\mathrm{sinc}(0) = 1\,</math> 和  <math>\mathrm{sinc}(k) = 0\,</math>；也就是说，它是一个[[插值函数]]。
* 函数 <math>x_k(t)=\mathrm{sinc}(t-k) \ </math> 在[[Lp空间|函数空间]] <math>L^2(\R)</math> 形成一个[[带限]]函数的[[正交基]]，它的最大角频率是 <math>\omega_\mathrm{H}=\pi\,</math> ，也就是说最大的循环频率是 <math>f_\mathrm{H}=1/2\,</math>。

这两个 sinc 函数的其它特性包括：

* 非归一化 sinc 函数 <math>\begin{matrix}\frac{\sin(x)}{x} \end{matrix}\,</math>；对应于它与余弦函数的交点。也就是说，如果 <math>\begin{matrix}\frac{\sin(x)}{x} \end{matrix}\,</math> 的导数是 0 ，即在 <math>x = a\,</math> 有极值，那么  <math>\begin{matrix}\frac{\sin(a)}{a} \end{matrix} = \cos(a) \,</math> 。

* 非归一化 sinc 是第一类零阶球[[贝塞尔函数]]<math>j_0(x) = \begin{matrix}\frac{\sin(x)}{x} \end{matrix}\,</math>。归一化 sinc 是 <math>j_0(\pi x)\,</math>。

* 非归一化 sinc 的过零点是 <math>\pi\,</math> 的非零倍数；归一化 sinc 函数&nbsp; <math>\mathrm{sinc}(x) = \begin{matrix}\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \end{matrix}\,</math> &nbsp; 的过零点出现在非零整数。

* 归一化 sinc 函数&nbsp; <math>\mathrm{sinc}(x) = \begin{matrix}\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \end{matrix}\,</math> &nbsp; 的对于普通频率的[[连续傅里叶变换]]是 &nbsp;<math>\mathrm{rect}(f)\,</math>。
::<math>\int_{-\infty}^\infty \mathrm{sinc}(t)\,e^{-2\pi i f t}dt = \mathrm{rect}(f)</math>,
: 其中[[矩形函数]]在 –1/2 到 1/2 之间值为 1，在其它区域值为 0。

* 积分
::<math>\int_{-\infty}^\infty \begin{matrix}\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \end{matrix}\, dx = 1</math>
: 是[[广义积分]]。因为：<br />
::<math>\int_{-\infty}^\infty \left|\begin{matrix}\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \end{matrix}\right|\ dx = \infty \,</math> 
所以它不是[[勒貝格積分]]。
* <math> \mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin \pi x}{\pi x} = \prod_{n=1}^\infty \left(1 - \frac{x^2}{n^2}\right)</math>

* <math> \mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin \pi x}{\pi x} = \frac{1}{\Gamma(1+x)\Gamma(1-x)} = \frac{1}{x! (-x)!}</math>
: 其中 <math>\Gamma(x)</math> 是 [[Γ函数]]。

== 与狄拉克δ分布的关系 ==

尽管不是[[分佈 (數學分析)|分布]]，归一化 sinc 函数也可以作为 ''nascent δ函数''（参见[[狄拉克δ函数]]）使用。

''归一化'' sinc 函数通过下式与[[δ分布]] δ(''x'') 发生联系

:<math>\lim_{a\rightarrow 0}\frac{1}{a}\textrm{sinc}(x/a)=\delta(x).</math>

由于等式左侧并不收敛，所以这不是普通的 [[极限_(数学)|limit]]，而是说明对于任意的[[緊支撐]]平滑函数 <math>\varphi(x)</math> 有

:<math>\lim_{a\rightarrow 0}\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{a}\textrm{sinc}(x/a)\varphi(x)\,dx
           =\int_{-\infty}^\infty\delta(x)\varphi(x)\,dx = \varphi(0),
</math>

在上面的表达式中，随着 ''a'' 趋近于 0，sinc 函数每个单元长度上的振动次数趋近于[[无限]]，然而不管 ''a'' 是什么值，这个表示通常在 ±1/(π''x'') 内振动。这与 δ(x) 的非正式表示有所矛盾，δ(x) 除了 ''x=0'' 之外其它 ''x'' 上的值都是 0，这表明了将δ函数作为函数而不是分布带来的问题。在[[吉布斯现象]]（Gibbs phenomenon）中也有类似的状况。

== 参见 ==
* [[抗混叠]]
* [[Sinc滤波器]]
* {{tsl|en|Whittaker–Shannon interpolation formula|维塔克–山侬插值公式}}
* [[波尔文积分]]

== 参考文献 ==
{{Reflist|2}}

== 外部链接 ==
* {{MathWorld |title=Sinc Function |urlname=SincFunction}}

{{DEFAULTSORT:sinc function}}
[[Category:信号处理]]
[[Category:基本特殊函数]]