查看“T1空间”的源代码

{{DISPLAYTITLE:T<sub>1</sub>空间}}
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{{For|“T1”的其他含义|T1}}
在[[拓扑学]]和相关的[[数学]]分支中，'''T<sub>1</sub> 空间'''和 '''R<sub>0</sub> 空间'''是特定种类的[[拓扑空间]]。T<sub>1</sub> 和 R<sub>0</sub> 性质是[[分离公理]]的个例。

== 定义 ==

设 ''X'' 是[[拓扑空间]]并设 ''x'' 和 ''y'' 是 ''X'' 中的点。我们称 ''x'' 和 ''y'' 可以被“[[分离集合|分离]]”如果它们每个都位于不包含另一个点的一个[[开集]]中。
* ''X'' 是 '''T<sub>1</sub> 空间'''，如果任何 ''X'' 中两个独特的点可以被分离。
* ''X'' 是 '''R<sub>0</sub> 空间'''，如果任何 ''X'' 中两个[[拓扑可区分]]的点可以被分离。

T<sub>1</sub> 空间也叫做'''可及空间'''(accessible space)或'''Fréchet 空间'''，而 R<sub>0</sub> 空间也叫做'''对称空间'''。（术语“[[Fréchet空间]]”在[[泛函分析]]中有完全不同的意义。为此偏好术语“T<sub>1</sub> 空间”。还有作为某种类型的[[序列空间]]的[[Fréchet-Urysohn空间]]的概念。术语“[[对称空间]]”也有其他意义。）

== 性质 ==

设 ''X'' 是拓扑空间。则下列条件等价：
* ''X'' 是 T<sub>1</sub> 空间。
* ''X'' 是 [[柯爾莫果洛夫空間|T<sub>0</sub> 空间]]和 R<sub>0</sub> 空间。
* 点在 ''X'' 中是闭合的；就是说给定任何 ''X'' 中点 ''x''，单元素集合 {''x''} 是[[闭集]]。
* 所有 ''X'' 的子集是包含它的所有开集的交集。
* 所有[[有限集合|有限]]集合是[[闭集]]。
* ''X'' 的[[余有限]]集合是开集。
* 在 ''x'' 的[[超滤子|固定超滤子]]只收敛到 ''x''。
* 对于所有 ''X'' 中的点 ''x'' 和所有 ''X'' 的子集 ''S''，''x'' 是 ''S'' 的[[极限点]]，当且仅当所有 ''x'' 的开[[邻域]]包含无限多个 ''S'' 的点。

设 ''X'' 是拓扑空间。则下列条件等价：
* ''X'' 是 R<sub>0</sub> 空间。
* 给定任何 ''X'' 中的 ''x''，{''x''} 的[[闭包]]只包含与 ''x'' [[拓扑不可区分性|拓扑不可区分]]的点。
* 在 ''X'' 上的[[特殊化预序]]是[[对称关系|对称]]的（因此是[[等价关系]]）。
* 在 ''x'' 的固定超滤子只收敛到与 ''x'' 拓扑不可区分的点。
* ''X''（它识别拓扑不可区分点）的[[柯爾莫果洛夫商]]是 T<sub>1</sub>。
* 所有[[开集]]是[[闭集]]的并集。

在任何拓扑空间中，作为任何两个点之间的性质，有下列蕴涵
:“分离”的 ⇒ “拓扑可区分”的 ⇒ “独特”的
如果第一个箭头可反转则空间是 R<sub>0</sub>。如果第二个箭头可以反转则空间是 [[T0空间|T<sub>0</sub>]]。如果复合箭头可以被反转则空间是 T<sub>1</sub>。明显的，一个空间是 T<sub>1</sub> 当且仅当它是 R<sub>0</sub> 和 T<sub>0</sub> 二者。

注意有限 T<sub>1</sub> 空间必然是[[离散空间|离散]]的（因为所有集合都是闭集）。

== 例子 ==

* [[Sierpinski空间]]是 T<sub>0</sub> 而非 T<sub>1</sub> 的拓扑空间的一个简单例子。
* [[重叠区间拓扑]]是 T<sub>0</sub> 而非 T<sub>1</sub> 的一个例子。

* 在[[无限集合]]上的[[余有限拓扑]]是 T<sub>1</sub> 而非[[豪斯多夫空间|豪斯多夫]](T<sub>2</sub>) 的一个简单例子。这是因为没有余有限拓扑的两个开集是不相交的。特别是，设 ''X'' 是[[整数]]集合，并定义[[开集]] ''O''<sub>''A''</sub> 是包含除了 ''A'' 的所有 ''X'' 的[[有限集合|有限]]子集的那些 ''X'' 的子集。则给定不同的整数 ''x'' 和 ''y'':
:* 开集 ''O''<sub>{''x''}</sub> 包含 ''y'' 但不包含 ''x''，而开集 ''O''<sub>{''y''}</sub> 包含 ''x'' 但不包含 ''y''；
:* 等价的，所有单元素集合 {''x''} 是开集 ''O''<sub>{''x''}</sub> 的补集，所以它是闭集；
:所以通过上述每个定义结果的空间是 T<sub>1</sub>。这个空间不是 T<sub>2</sub>，因为任何两个开集''O''<sub>''A''</sub> 和 ''O''<sub>''B''</sub> 的[[交集]]是 ''O''<sub>''A''∪''B''</sub>，它永远非空。可供选择，偶整数集合是[[紧致]]的但不是[[闭集]]，它不可能在豪斯多夫空间内。

* 上述例子可以稍微修改来建立[[双点余有限拓扑]]，它是 R<sub>0</sub> 不是 T<sub>1</sub> 也不是 R<sub>1</sub> 的空间的例子。设 ''X'' 是整数的集合，并使用上例中 ''O''<sub>''A''</sub> 定义，定义对任何整数 ''x'' 开集 ''G''<sub>''x''</sub> 的[[子基]]为 ''G''<sub>''x''</sub> = ''O''<sub>{''x'', ''x''+1}</sub> 如果 ''x'' 为[[偶数]] 和 ''G''<sub>''x''</sub> = ''O''<sub>{''x''-1, ''x''}</sub> 如果 ''x'' 是奇数。则这个拓扑的[[基 (拓扑学)|基]]可给出自子基集合的有限[[交集]]：给定有限集合 ''A''，''X'' 的开集是

::<math>U_A := \bigcap_{x \in A} G_x. </math>

:结果的空间不是 T<sub>0</sub>（因此不是 T<sub>1</sub>），因为点 ''x'' 和 ''x'' + 1（对于偶数 ''x''）是拓扑不可区分的；但是在其他方面它本质上等价于上个例子。

* 在[[代数簇]]上的[[Zariski拓扑]]是 T<sub>1</sub> 的。要看出来，请注意带有[[局部坐标]] (''c''<sub>1</sub>,...,''c''<sub>''n''</sub>) 的点是[[多项式]] ''x''<sub>1</sub>-''c''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>-''c''<sub>''n''</sub> 的零集合。因此点是闭合的。但是这个例子作为非[[豪斯多夫空间|豪斯多夫]](T<sub>2</sub>) 的空间而知名。Zariski 拓扑本质上是余有限拓扑的例子。

* 所有[[完全不连通空间]]是 T<sub>1</sub>，因为所有点都是[[连通单元]]因此是闭合的。

== 推广到其他种类的空间 ==

术语“T<sub>1</sub>”、“R<sub>0</sub>”和它们的同义词还可以应用于拓扑空间的变体如[[一致空间]]、[[柯西空间]]和[[收敛空间]]。统一这些例子中概念的特征是固定超滤子（或恒定[[网 (数学)|网]]）的极限是唯一的（对于 T<sub>1</sub> 空间）或不別拓扑不可区分性之異時是唯一的（对于 R<sub>0</sub> 空间）。

这显现出一致空间和更一般的柯西空间总是 R<sub>0</sub> 的，所以在这些情况下 T<sub>1</sub> 条件简约为 T<sub>0</sub> 条件。但是 R<sub>0</sub> 自身在其他种类的收敛空间上也是有价值的，比如[[预拓扑空间]]。

==參考文獻==
{{refbegin}}
* {{Cite book| last=Willard| first=Stephen| year=1998| title=General Topology| edition=| volume= | series= |place=New York | publisher=Dover| pages=86–90| isbn = 0-486-43479-6}}.
* {{Cite book| last=Folland| first=Gerald| year=1999| title=Real analysis: modern techniques and their applications| edition=2nd| volume=| series=| place=| publisher=John Wiley & Sons, Inc| page=116| isbn = 0-471-31716-0}}.
{{refend}}

{{点集拓扑}}

[[Category:分离公理]]