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[[File:Wye-delta.svg|right|thumb|Δ形电路和Y形电路]]
'''Y-Δ变换'''或稱為'''星角變換'''，是一种把[[Y形电路]]转换成等效的[[Δ形电路]]，或把Δ形电路转换成等效的Y形电路的方法。它可以用来简化电路的分析。这一变换理论是由{{le|亚瑟·肯内利|Arthur Kennelly}}於1899年发表。<ref> A.E. Kennelly, ''Equivalence of triangles and stars in conducting networks'', Electrical World and Engineer, vol. 34, pp. 413-414, 1899. </ref> 

== 基本的Y-Δ变换 ==

设R<sub>1</sub>、R<sub>2</sub>、和R<sub>3</sub>分别是Y形电路中从N<sub>1</sub>、N<sub>2</sub>、N<sub>3</sub>到中点的[[阻抗]]，R<sub>a</sub>、R<sub>b</sub>、R<sub>c</sub>分别是Δ形电路中N<sub>1</sub>与N<sub>3</sub>、N<sub>1</sub>与N<sub>2</sub>、N<sub>2</sub>与N<sub>3</sub>之间的阻抗。希望把Y形电路换成Δ形电路，或把Δ形电路换成Y形电路后，任意两个端点之间的阻抗仍然与原来的电路相等。

=== 把Δ形电路变换成Y形电路 ===
变换的基本思路是用<math>R'</math>和<math>R''</math>计算Y形电路端点的阻抗<math>R_y</math>，其中<math>R'</math>和<math>R''</math>是Δ形电路中对应节点到邻接节点间的阻抗：
:<math>R_y = \frac{R'R''}{\sum R_\Delta}</math>

其中<math>R_\Delta</math>是Δ形电路的阻抗之和。具体公式如下：

:<math>R_1 = \frac{R_aR_b}{R_a + R_b + R_c}</math>

:<math>R_2 = \frac{R_bR_c}{R_a + R_b + R_c}</math>

:<math>R_3 = \frac{R_aR_c}{R_a + R_b + R_c}</math>
或者可以简记为 Y形电阻 = Δ形连接相邻电阻的乘积/Δ形连接电阻之和

=== 把Y形电路变换成Δ形电路 ===
变换的基本思路是计算Δ形电路的<math>R_\Delta</math>：

:<math>R_\Delta = \frac{R_P}{R_\mathrm{opposite}}</math>

其中<math>R_P = R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1</math>是Y形电路中的阻抗两两相乘之和，<math>R_\mathrm{opposite}</math>是<math>R_\Delta</math>所在支路对侧的端点在Y形电路中对应端点的阻抗。每一支路的阻抗计算公式为：

:<math>R_a = \frac{R_1R_2 + R_2R_3 + R_3R_1}{R_2}</math>

:<math>R_b = \frac{R_1R_2 + R_2R_3 + R_3R_1}{R_3}</math>

:<math>R_c = \frac{R_1R_2 + R_2R_3 + R_3R_1}{R_1}</math>
或者可以简记为 Δ形连接电导 = Y形连接相邻电导的乘积/Y形连接电导之和

==图论==
在[[图论]]中，Y-Δ变换表示将一个图的Y形[[子图]]用等价的Δ形子图代替。变换後的边数不变，但[[顶点 (图论)|顶点]]数和[[回路 (图论)|回路]]数会变化。如果这两个图可以通过一系列的Y-Δ变换互相变换得到，那么就可以成这两个图'''Y-Δ等价'''。例如，[[佩特森圖]]就是一个Y-Δ[[等价类]]。

==推导==
===Δ形负载到Y形负载的变换方程===
要将Δ形负载{<math>R_a, R_b, R_c</math>}变换成Y形负载{<math>R_1,R_2,R_3</math>}，需要比较二者对应节点的阻抗。要计算两种接法的阻抗，需要将电路中的一个节点断开。
 
Δ形电路中''N''<sub>3</sub>断开後，''N''<sub>1</sub>与''N''<sub>2</sub>间的阻抗为

:<math>
\begin{align} 
R_\Delta(N_1, N_2) &= R_b \parallel (R_a+R_c) \\[8pt]
&= \frac{1}{\frac{1}{R_b}+\frac{1}{R_a+R_c}}    \\[8pt]
&= \frac{R_b(R_a+R_c)}{R_a+R_b+R_c}.
\end{align}
</math>

将{<math>R_a, R_b, R_c</math>}之和用<math>R_T</math>表示以简化方程：
:<math> R_T = R_a + R_b + R_c </math>

得到

:<math> R_\Delta(N_1, N_2) = \frac{R_b(R_a+R_c)}{R_T} </math>

Y形电路中N<sub>1</sub>与<sub>2</sub>的对应阻抗为

:<math>R_Y(N_1, N_2) = R_1 + R_2</math>

由以上两式得到：

:<math>R_1+R_2 = \frac{R_b(R_a+R_c)}{R_T}</math>   (1)

同理，对於<math>R(N_2,N_3)</math>与<math>R(N_1,N_3)</math>，也分别有

:<math>R_2+R_3 = \frac{R_c(R_a+R_b)}{R_T}</math>   (2)



:<math>R_1+R_3 = \frac{R_a(R_b+R_c)}{R_T}.</math>   (3)

由此，{<math>R_1,R_2,R_3</math>}的值可以由以上式子的线性组合（相加或相减）求出。

例如，将式(1)和式(3)相加，然後减去式(2)会得到

:<math>
R_1+R_2+R_1+R_3-R_2-R_3 =
  \frac{R_b(R_a+R_c)}{R_T}
+ \frac{R_a(R_b+R_c)}{R_T}
- \frac{R_c(R_a+R_b)}{R_T}
</math>

:<math>2R_1 = \frac{2R_bR_a}{R_T}</math>

於是

:<math>R_1 = \frac{R_bR_a}{R_T}.</math>

其中
<math> R_T = R_a + R_b + R_c </math>

求出所有的阻抗值如下：

:<math>R_1 = \frac{R_bR_a}{R_T}</math>   (4)



:<math>R_2 = \frac{R_bR_c}{R_T}</math>   (5)



:<math>R_3 = \frac{R_aR_c}{R_T}</math>   (6)

===Y形负载到Δ形负载的变换方程===
令

:<math>R_T = R_a+R_b+R_c</math>.

则Δ形电路到Y形电路的变换方程变为

:<math>R_1 =  \frac{R_aR_b}{R_T} </math>   (1)



:<math>R_2 =  \frac{R_bR_c}{R_T} </math>   (2)



:<math>R_3 =  \frac{R_aR_c}{R_T}. </math>   (3)

将以上式子两两相乘得到

:<math>R_1R_2 = \frac{R_aR_b^2R_c}{R_T^2}</math>   (4)



:<math>R_1R_3 = \frac{R_a^2R_bR_c}{R_T^2}</math>   (5)



:<math>R_2R_3 = \frac{R_aR_bR_c^2}{R_T^2}</math>   (6)

上式之和为

:<math>R_1R_2 + R_1R_3 + R_2R_3 = \frac{R_aR_b^2R_c + R_a^2R_bR_c + R_aR_bR_c^2}{R_T^2}</math>   (7)

将右侧式子中的公因式<math>R_aR_bR_c</math>提出，约去分子中的<math>R_T</math>和分母中的一个<math>R_T</math>後得到

:<math>R_1R_2 + R_1R_3 + R_2R_3 = \frac{(R_aR_bR_c)(R_a+R_b+R_c)}{R_T^2}</math>

:<math>R_1R_2 + R_1R_3 + R_2R_3 = \frac{R_aR_bR_c}{R_T}</math>   (8)

注意式(8)和式{(1),(2),(3)}的相似性，

将式(8)除以式(1)得到

:<math>\frac{R_1R_2 + R_1R_3 + R_2R_3}{R_1} = \frac{R_aR_bR_c}{R_T}\frac{R_T}{R_aR_b},</math>

:<math>\frac{R_1R_2 + R_1R_3 + R_2R_3}{R_1} = R_c,</math>

得到<math>R_c</math>的表达式。同理，将式(8)除以<math>R_2</math>或<math>R_3</math>也能得到相应的表达式。


== 参考文献 ==
* William Stevenson，“Elements of Power System Analysis 3rd ed.”，McGraw Hill, New York, 1975, ISBN 0-07-061285-4
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{{電路分析}}

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